축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 105 kNd = 20 mmL = 1 mE = 117 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 55 kN구간 1: Ø25 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø12 mm, 0.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 100 N·md = 25 mmL = 3 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 500 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 20 kWN = 500 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
단순보에 두 개의 집중 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 6 mP1 = 25 kN 위치 1 mP2 = 10 kN 위치 2.5 m
Mmax = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 5.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mP = 25 kN 위치 5 mw = 5 kN/m, 0부터 8 m까지x = 5.5 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
120 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 52.5 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 52.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
용접 I형 단면의 상부 플랜지는 190 × 12 mm, 웨브는 높이 350 mm, 두께 8 mm, 하부 플랜지는 280 × 22 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
상부 플랜지: 190 × 12 mm웨브: 8 × 350 mm하부 플랜지: 280 × 22 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 30 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = 30 MPaσy = −60 MPaτxy = 50 MPa
θp = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 30° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = 60 MPaσy = −10 MPaτxy = 20 MPaθ = -30°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 0.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 하중 아래의 처짐 δP을(를) 구하시오.
P = 28 kNa = 0.5 mL = 2.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.보의 처짐어려움
폭 75 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/250을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 hreq을(를) 구하시오.
w = 3 kN/mL = 4.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 75 mm
hreq = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 20 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 135 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 135 kNn = 2.5L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 2857 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 105·1000/314.2 = 334.2 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 334.2/117000 = 0.002857 = 2857 µε
답
ε = 2857 µε
2.축 응력과 변형률
답: δ = 3.868 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 112 MPa
σ2 = 486.3 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 112·1500/117000 = 1.436 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 486.3·500/100000 = 2.432 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.868 mm
답
δ = 3.868 mm
3.축의 비틀림
답: φ = 5.603 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(80000·38350) = 0.09778 rad
φ = 0.09778·180/π = 5.603°
답
φ = 5.603°
4.축의 비틀림
답: d = 28.97 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 20000/52.36 = 382 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·381972/(π·80)) = 28.97 mm
답
d = 28.97 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 29.17 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
ΣMA = 0: RB·6 = 25·1 + 10·2.5
RB = 50/6 = 8.333 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 8.333 = 26.67 kN
각 하중 아래의 모멘트
각 하중의 왼쪽 부분을 남깁니다.
아래 P1: M = RA·1 = 26.67·1 = 26.67 kN·m
아래 P2: M = RB·3.5 = 8.333·3.5 = 29.17 kN·m
최댓값
Mmax = 29.17 kN·m (아래 P2)
답
Mmax = 29.17 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 73.44 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 25·5 + 5·8·4
RB = 285/8 = 35.63 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 35.63 = 29.38 kN
x = 5.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 29.38·5.5 − 25·(5.5 − 5) − 5·5.5·2.75 = 73.44 kN·m
답
Mx = 73.44 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 32.33 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (18000·75 − 1963·52.5)/(18000 − 1963) = 77.75 mm
ȳ에 대한 전체 판
120·150³/12 + 18000·−2.755² = 33.89 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·50⁴/64 + 1963·−25.25² = 1.559 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 32.33 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 32.33 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 268.9 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
세 개의 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
상부 플랜지: A = 2280 mm², y = 378 mm
웨브: A = 2800 mm², y = 197 mm
하부 플랜지: A = 6160 mm², y = 11 mm
도심
ȳ = (2280·378 + 2800·197 + 6160·11)/11240 = 131.8 mm
평행축 정리
상부 플랜지: 190·12³/12 + 2280·246.2² = 1.383 × 10⁸ mm⁴
웨브: 8·350³/12 + 2800·65.22² = 4.049 × 10⁷ mm⁴
하부 플랜지: 280·22³/12 + 6160·120.8² = 9.011 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.383 × 10⁸ + 4.049 × 10⁷ + 9.011 × 10⁷
Ix = 2.689 × 10⁸ mm⁴ = 268.9 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 268.9 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: θp = 24.01 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·50, 30 − −60) = 48.01°
요소에서의 각도
θp = 24.01°
답
θp = 24.01°
반시계 방향 각도가 양입니다.
10.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 25.18 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 25 + 35·0.5 + 20·−0.866 = 25.18 MPa
답
σθ = 25.18 MPa
11.보의 처짐
답: δP = 2.946 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 28000 N, a = 500 mm, L = 2500 mm
EI = 3.96 × 10¹¹ N·mm²
하중 아래의 처짐
δP = Pa³/(3EI) = 28000·500³/(3·3.96 × 10¹¹) = 2.946 mm
답
δP = 2.946 mm
12.보의 처짐
답: hreq = 234.8 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 3 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²
처짐 한계
δallow = L/250 = 4500/250 = 18 mm
필요한 단면 2차 모멘트
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·4500⁴/(384·11000·18) = 8.09 × 10⁷ mm⁴
필요한 높이
bh³/12 = Ireq → h = (12·8.09 × 10⁷/75)1/3 = 234.8 mm
답
hreq = 234.8 mm
실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 14.06 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1050² = 14062 N = 14.06 kN
답
Pcr = 14.06 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 97.28 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·135000 = 337500 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 97.28 mm
답
d = 97.28 mm
확인: 세장비 KL/r는 123.4이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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