재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
50 kNØ30100 GPaØ120/70800 mmδ = ?

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 50 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 50 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
40 kN12400 mm500 mmØ40Ø50σ2​ = ?

강철 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 500 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 40 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
do​ = ?T = 750 N·m

중공축이 토크 750 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.7배로 하고, 전단 응력은 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

T = 750 N·mdi/do = 0.7τallow = 50 MPa
do = mm
4.축의 비틀림어려움
d = ?20 kW, 1500 rpm

속이 찬 강철 축이 1500 rpm에서 20 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 80 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.5°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 1500 rpmτallow = 80 MPaθallow = 0.5°/mG = 80 GPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 3 kN/mP = 35 kNAB단면0.5 m1 m2.5 m

캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 1.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 0.5 m인 단면에서 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 4 mP = 35 kN 위치 1.5 mw = 3 kN/m, 0부터 4 m까지x = 0.5 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 3 kN/mP = 20 kNAB5 m5 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 10 mP = 20 kN 위치 5 mw = 3 kN/m, 0부터 10 m까지
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
1202528010x치수 단위: mm

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

bf = 120 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
2001514010x정모멘트 M치수 단위: mm

주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 60 MPa, 압축 90 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 정(正) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오.

bf = 200 mmtf = 15 mmtw = 10 mmhw = 140 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 20σy​ = −20τxy​ = 10MPa

한 점에서 σₓ = 20 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σx = 20 MPaσy = −20 MPaτxy = 10 MPa
θs = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
35°D = 1500 mm, t = 5 mm, p = 1.5 MPap

안지름 1500 mm, 벽 두께 5 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 35°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σn을(를) 구하시오.

D = 1500 mmt = 5 mmp = 1.5 MPaα = 35°
σn = MPa
11.보의 처짐보통
w = 4 kN/mδL = 5 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
w = 5 kN/mδL = 8 m

단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 11 GPa (구조용 목재)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
PL = 6 m40 × 60 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 30 kNL = 2.5 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 30 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.04507 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·7461 = 8.875 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 50000·800/8.875 × 10⁸ = 0.04507 mm

답

δ = 0.04507 mm
2.축 응력과 변형률

답: σ2 = 8.3 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 110000·1963/500 = 431969 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 40000·431969/1.06 × 10⁶ = 16296 N

응력

σ2 = 16296/1963 = 8.3 MPa (압축)

답

σ2 = 8.3 MPa
3.축의 비틀림

답: do = 46.5 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 750 N·m = 750000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·50·0.7599)) = 46.5 mm
di = 0.7·46.5 = 32.55 mm

답

do = 46.5 mm

속이 찬 축이라면 d = 42.43 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: d = 36.92 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 20000/157.1 = 127.3 N·m

강도 기준 지름

T = 127.3 N·m = 127324 N·mm
dτ = ∛(16·127324/(π·80)) = 20.09 mm

강성 기준 지름

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·127324/(π·80000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 36.92 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(20.09, 36.92) = 36.92 mm

답

d = 36.92 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = −53.38 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

자유단 쪽 부분을 남긴다

P: −35·1 = −35 kN·m
w: −3·3.5²/2 = −18.38 kN·m
Mx = −35 − 18.38 = −53.38 kN·m

답

Mx = −53.38 kN·m

음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.

6.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 87.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 20·5 + 3·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN

V = 0인 곳은?

V(5⁻) = RA − w·5 = 10 kN
V(5⁺) = 10 − 20 = −10 kN
전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.

최대 모멘트

Mmax = RA·5 − w·5²/2 = 25·5 − 3·5²/2 = 87.5 kN·m

답

Mmax = 87.5 kN·m

A에서 x = 5 m인 곳에서 생깁니다.

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 52.13 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 120·25 = 3000 mm², yf = 280 + 25/2 = 292.5 mm
웨브: Aw = 10·280 = 2800 mm², yw = 280/2 = 140 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·292.5 + 2800·140)/5800 = 218.9 mm

평행축 정리

플랜지: 120·25³/12 + 3000·(292.5 − 218.9)² = 1.642 × 10⁷ mm⁴
웨브: 10·280³/12 + 2800·(140 − 218.9)² = 3.571 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.642 × 10⁷ + 3.571 × 10⁷ = 5.213 × 10⁷ mm⁴ = 52.13 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 52.13 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Mallow = 3.945 kN·m

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

도심

ȳ = (3000·147.5 + 1400·70)/4400 = 122.8 mm
윗면 가장자리: c = 155 − 122.8 = 32.16 mm

단면 2차 모멘트

I = 200·15³/12 + 3000·24.66² + 10·140³/12 + 1400·52.84² = 8.076 × 10⁶ mm⁴

각 가장자리가 허용하는 모멘트

정모멘트: 위는 압축, 아래는 인장입니다.

윗면 가장자리: M = 90·8.076 × 10⁶/32.16 = 22.6 kN·m
아랫면 가장자리: M = 60·8.076 × 10⁶/122.8 = 3.945 kN·m

지배 값

Mallow = min = 3.945 kN·m (아랫면 가장자리)

답

Mallow = 3.945 kN·m
9.모어 원과 응력 변환

답: θs = −31.72 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θs = 10/22.36 = 0.4472, sin 2θs = −20/22.36 = −0.8944
2θs = atan2(−20, 10) = −63.43°

요소에서의 각도

θs = −31.72°
검산: θs − θp = −31.72 − 13.28 = −45°

답

θs = −31.72°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σn = 188 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 1.5·750/5 = 225 MPa
σa = pr/(2t) = 112.5 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σn = 112.5·sin²35° + 225·cos²35° = 188 MPa

답

σn = 188 MPa
11.보의 처짐

답: δmax = 2.855 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm
EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

처짐

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·1.14 × 10¹³) = 2.855 mm

답

δmax = 2.855 mm
12.보의 처짐

답: Ireq = 1091 × 10⁶ mm⁴

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

처짐 한계

δallow = L/360 = 8000/360 = 22.22 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·8000⁴/(384·11000·22.22) = 1.091 × 10⁹ mm⁴
Ireq = 1091 × 10⁶ mm⁴

답

Ireq = 1091 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 70.18 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/3000² = 70184 N = 70.18 kN

답

Pcr = 70.18 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 86.23 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·30000 = 75000 N
KL = 2·2500 = 5000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 86.23 mm

답

d = 86.23 mm

확인: 세장비 KL/r는 231.9이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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