재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 400 mm이며 강체 판 사이에서 200 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 200 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 30 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 400 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 20 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 60 mm, 길이 1.5 m이고, 구간 BC는 지름 30 mm, 길이 2.5 m이다. 자유단 C에 토크 400 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 400 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1.5 md₂ = 30 mm, L₂ = 2.5 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 300 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.전단력과 휨 모멘트보통

지점 A에서 x = 3.5 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mw = 2 kN/m, 0부터 5 m까지x = 3.5 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 2 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mP = 50 kN 위치 2.5 mw = 10 kN/m, 0부터 6 m까지x = 2 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 200 mm, 두께 22 mm이고, 전체 높이는 300 mm, 웨브 두께는 12 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 80 kN·m을(를) 받는다. 단면의 최대 휨 응력 크기 σ_max을(를) 구하시오.

B = 200 mmH = 300 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mmM = 80 kN·m

σ_max = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = −30 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

10.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 50 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 45° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 50 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.보의 처짐어려움

폭 100 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/360을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 h_req을(를) 구하시오.

w = 3 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 100 mm

h_req = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 25 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 25 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.09362 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8.545 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 200000·400/8.545 × 10⁸ = 0.09362 mm

답

δ = 0.09362 mm

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 7.091 MPa

강성

k₁ = 200000·706.9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 20000·539961/775581 = 13924 N

응력

σ₂ = 13924/1963 = 7.091 MPa (압축)

답

σ₂ = 7.091 MPa

3.축의 비틀림

답: φ_C = 19.17 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J₁ = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 400000·1500/(39000·1.272 × 10⁶) = 0.01209 rad

φ_BC = 400000·2500/(39000·79522) = 0.3224 rad

전체 비틀림각

φ_C = 0.01209 + 0.3224 = 0.3345 rad = 19.17°

답

φ_C = 19.17°

4.축의 비틀림

답: d = 31.21 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·80)) = 31.21 mm

답

d = 31.21 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 5.25 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2.5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

x = 3.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 5·3.5 − 2·3.5·1.75 = 5.25 kN·m

답

M_x = 5.25 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 98.33 kN·m

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, 작용점 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·2.5 + 10·6·3

R_B = 305/6 = 50.83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 50.83 = 59.17 kN

x = 2 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 59.17·2 − 10·2·1 = 98.33 kN·m

답

M_x = 98.33 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 15.79 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

웨브: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·205 + 2400·100)/3400 = 130.9 mm

평행축 정리

플랜지: 100·10³/12 + 1000·(205 − 130.9)² = 5.502 × 10⁶ mm⁴

웨브: 12·200³/12 + 2400·(100 − 130.9)² = 1.029 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5.502 × 10⁶ + 1.029 × 10⁷ = 1.579 × 10⁷ mm⁴ = 15.79 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 15.79 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_max = 64.12 MPa

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − t_w), 높이 h_w = H − 2t_f이며, 축 x를 공유합니다.

h_w = 300 − 2·22 = 256 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·300³ − 188·256³)/12

I_x = 1.872 × 10⁸ mm⁴

휨 응력

y = 150 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·150/1.872 × 10⁸ = 64.12 MPa

답

σ_max = 64.12 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = 22.5 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = 50/70.71 = 0.7071, sin 2θ_s = −(−50)/70.71 = 0.7071

2θ_s = atan2(50, 50) = 45°

요소에서의 각도

θ_s = 22.5°

검산: θ_s − θ_p = 22.5 − 67.5 = −45°

답

θ_s = 22.5°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 110 MPa

변환 식

σ_θ = 80 + −30·0 + −30·−1 = 110 MPa

답

σ_θ = 110 MPa

11.보의 처짐

답: δ_max = 24.84 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

처짐

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 24.84 mm

답

δ_max = 24.84 mm

12.보의 처짐

답: h_req = 187.4 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9.722 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·9.722) = 5.481 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = I_req → h = (12·5.481 × 10⁷/100)^1/3 = 187.4 mm

답

h_req = 187.4 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 4.318 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·3000 = 6000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/6000² = 4318 N = 4.318 kN

답

P_cr = 4.318 kN

14.기둥의 좌굴

답: d = 41.95 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·25000 = 75000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 41.95 mm

답

d = 41.95 mm

확인: 세장비 KL/r는 190.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials