재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

황동 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 110 kNd = 16 mmL = 0.5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 55 kN구간 1: Ø25 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø12 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)

δ = mm

3.축의 비틀림보통

알루미늄 중공축(바깥지름 30 mm, 안지름 15 mm, 길이 1.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 250 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 250 N·md_o = 30 mmd_i = 15 mmL = 1.5 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 강철 축이 500 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.5°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 75 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0.5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.전단력과 휨 모멘트보통

단순보의 A에서 x = 9 m인 곳에 시계 방향 우력 M₀ = 25 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 오른쪽의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mM₀ = 25 kN·m 시계 방향, 위치 9 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 10 mP = 60 kN 위치 3 mw = 5 kN/m, 0부터 10 m까지

M_max = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

속이 빈 직사각형(상자형) 단면의 바깥 폭은 B = 240 mm, 바깥 높이는 H = 350 mm, 균일한 벽 두께는 t = 12 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.

B = 240 mmH = 350 mmt = 12 mm

r = mm

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 25 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ_위의 크기를 구하시오.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mmM = 25 kN·m

σ_위 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = 10 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 30 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 500 mm, 벽 두께 8 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 2.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 50°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τ_n|을(를) 구하시오.

D = 500 mmt = 8 mmp = 2.5 MPaα = 50°

|τ_n| = MPa

11.보의 처짐보통

길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 1.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 자유단 B의 처짐 δ_B을(를) 구하시오.

P = 9 kNa = 1.5 mL = 2.5 mE = 200 GPa (강철)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.보의 처짐어려움

단순보의 지점 B에서 b = 1 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 경간 중앙의 처짐 δ_mid을(를) 구하시오.

P = 12 kNb = 1 mL = 8 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 5471 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 110·1000/201.1 = 547.1 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 547.1/100000 = 0.005471 = 5471 µε

답

ε = 5471 µε

2.축 응력과 변형률

답: δ = 8.873 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 112 MPa

σ₂ = 486.3 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 112·1000/200000 = 0.5602 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 486.3·2000/117000 = 8.313 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8.873 mm

답

δ = 8.873 mm

3.축의 비틀림

답: φ = 11.08 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(30⁴ − 15⁴)/32 = 74551 mm⁴

비틀림각

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·1500/(26000·74551) = 0.1935 rad

φ = 0.1935·180/π = 11.08°

답

φ = 11.08°

4.축의 비틀림

답: d = 67.61 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 75000/52.36 = 1432 N·m

강도 기준 지름

T = 1432 N·m = 1.432 × 10⁶ N·mm

d_τ = ∛(16·1.432 × 10⁶/(π·40)) = 56.71 mm

강성 기준 지름

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·1.432 × 10⁶/(π·80000·8.727 × 10⁻⁶))^1/4 = 67.61 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(56.71, 67.61) = 67.61 mm

답

d = 67.61 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 2.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.

지점 반력

A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: R_B·L − M₀ = 0. 연직 평형: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/10 = 2.5 kN (위쪽)

R_A = −R_B = −2.5 kN (아래쪽)

우력 바로 오른쪽에서 자른다

이제 왼쪽 부분에는 R_A와 우력이 포함됩니다.

M_x = R_A·a + M₀ = −2.5·9 + 25 = 2.5 kN·m

답

M_x = 2.5 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 178.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, 작용점 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·3 + 5·10·5

R_B = 430/10 = 43 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 43 = 67 kN

V = 0인 곳은?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 52 kN

V(3⁺) = 52 − 60 = −8 kN

전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.

최대 모멘트

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 67·3 − 5·3²/2 = 178.5 kN·m

답

M_max = 178.5 kN·m

A에서 x = 3 m인 곳에서 생깁니다.

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: r = 131.2 mm

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = I_c + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.

순단면적과 단면 2차 모멘트

b = 216 mm, h = 326 mm

A = BH − bh = 240·350 − 216·326 = 13584 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2.339 × 10⁸ mm⁴

회전 반지름

r = √(I/A) = √(2.339 × 10⁸/13584) = 131.2 mm

답

r = 131.2 mm

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_위 = 102.1 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

웨브: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·110 + 1400·50)/7000 = 98 mm

평행축 정리

플랜지: 280·20³/12 + 5600·(110 − 98)² = 993067 mm⁴

웨브: 14·100³/12 + 1400·(50 − 98)² = 4.392 × 10⁶ mm⁴

I_x = 993067 + 4.392 × 10⁶ = 5.385 × 10⁶ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 120 − 98 = 22 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·22/5.385 × 10⁶ = 102.1 MPa

답

σ_위 = 102.1 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 36.18 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 50 MPa, R = √((−20)² + 10²) = 22.36 MPa

σ₁ = 72.36 MPa, σ₂ = 27.64 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(44.72, 72.36, 27.64)/2 = 36.18 MPa

답

τ_abs = 36.18 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: |τ_n| = 19.23 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2.5·250/8 = 78.13 MPa

σ_a = pr/(2t) = 39.06 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

|τ_n| = (78.13 − 39.06)·sin 50°·cos 50° = 19.23 MPa

답

|τ_n| = 19.23 MPa

11.보의 처짐

답: δ_B = 2.813 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 9000 N, a = 1500 mm, L = 2500 mm

EI = 7.2 × 10¹² N·mm²

자유단의 처짐

하중 위치의 처짐 더하기 하중 위치의 처짐각 × 나머지 길이.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1.406 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.001406 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2.813 mm

답

δ_B = 2.813 mm

12.보의 처짐

답: δ_mid = 5.595 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 12000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

경간 중앙의 처짐

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 12000·1000·(3·8000² − 4·1000²)/(48·8.4 × 10¹²) = 5.595 mm

답

δ_mid = 5.595 mm

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 4.606 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/2000² = 4606 N = 4.606 kN

답

P_cr = 4.606 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 197.4 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/10 = 100

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

답

σ_cr = 197.4 MPa

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