재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 200 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 200 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 200 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 750 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

중공축이 750 rpm에서 10 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.5배로 하고, 전단 응력은 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

P = 10 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0.5τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.전단력과 휨 모멘트보통

지점 A에서 x = 4.5 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mw = 12 kN/m, 0부터 5 m까지x = 4.5 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 3 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 4 mP = 40 kN 위치 3 mw = 8 kN/m, 0부터 4 m까지x = 3 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

100 mm × 240 mm 판에 폭 40 mm, 높이 30 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 144 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 100 mmh = 240 mm절취부: 40 × 30 mm구멍 중심: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 90 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = 90 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

10.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −80 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). 폰 미제스 상당 응력 σ_vM을(를) 구하시오.

σ_x = −80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

11.보의 처짐보통

길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 4 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 자유단 B의 처짐 δ_B을(를) 구하시오.

P = 12 kNa = 4 mL = 6 mE = 200 GPa (강철)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.보의 처짐어려움

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 고정단의 휨 모멘트 크기 M_A을(를) 구하시오.

L = 6 mw = 10 kN/m

M_A = kN·m

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 40 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 40 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1661 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·2199 = 3.613 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 200000·300/3.613 × 10⁸ = 0.1661 mm

답

δ = 0.1661 mm

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 7.346 MPa

강성

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 100000·2827/200 = 1.414 × 10⁶ N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 30000·1.414 × 10⁶/2.042 × 10⁶ = 20769 N

응력

σ₂ = 20769/2827 = 7.346 MPa (압축)

답

σ₂ = 7.346 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 4.489 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(39000·613592) = 0.07835 rad

φ = 0.07835·180/π = 4.489°

답

φ = 4.489°

4.축의 비틀림

답: d_o = 24.01 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 10000/78.54 = 127.3 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 127.3 N·m = 127324 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·127324/(π·50·0.9375)) = 24.01 mm

d_i = 0.5·24.01 = 12 mm

답

d_o = 24.01 mm

속이 찬 축이라면 d = 23.49 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 13.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2.5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

x = 4.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 30·4.5 − 12·4.5·2.25 = 13.5 kN·m

답

M_x = 13.5 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 42 kN·m

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, 작용점 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·3 + 8·4·2

R_B = 184/4 = 46 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 46 = 26 kN

x = 3 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 26·3 − 8·3·1.5 = 42 kN·m

답

M_x = 42 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 26.04 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 120·10 = 1200 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

웨브: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1200·225 + 3520·110)/4720 = 139.2 mm

평행축 정리

플랜지: 120·10³/12 + 1200·(225 − 139.2)² = 8.836 × 10⁶ mm⁴

웨브: 16·220³/12 + 3520·(110 − 139.2)² = 1.721 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.836 × 10⁶ + 1.721 × 10⁷ = 2.604 × 10⁷ mm⁴ = 26.04 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 26.04 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 114.4 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (24000·120 − 1200·144)/(24000 − 1200) = 118.7 mm

ȳ에 대한 전체 판

100·240³/12 + 24000·1.263² = 115.2 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

40·30³/12 + 1200·25.26² = 0.8559 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 114.4 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 114.4 × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = −39.85 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = 10/55.9 = 0.1789, sin 2θ_s = −55/55.9 = −0.9839

2θ_s = atan2(−55, 10) = −79.7°

요소에서의 각도

θ_s = −39.85°

검산: θ_s − θ_p = −39.85 − 5.152 = −45°

답

θ_s = −39.85°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_vM = 173.2 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 0 MPa, R = 100 MPa

σ₁ = 100 MPa, σ₂ = −100 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(100² − 100·(−100) + (−100)²) = 173.2 MPa

답

σ_vM = 173.2 MPa

11.보의 처짐

답: δ_B = 26.67 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 12000 N, a = 4000 mm, L = 6000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

자유단의 처짐

하중 위치의 처짐 더하기 하중 위치의 처짐각 × 나머지 길이.

δ_P = Pa³/(3EI) = 15.24 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.005714 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 26.67 mm

답

δ_B = 26.67 mm

12.보의 처짐

답: M_A = 45 kN·m

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δ_load = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 R_B만으로 자유단은 R_BL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·6/8 = 22.5 kN

고정단의 모멘트

하중과 받침력의 A에 대한 모멘트.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 180 − 135 = 45 kN·m

답

M_A = 45 kN·m

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 27.47 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1000 = 1000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1000² = 27470 N = 27.47 kN

답

P_cr = 27.47 kN

14.기둥의 좌굴

답: d = 51.32 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 51.32 mm

답

d = 51.32 mm

확인: 세장비 KL/r는 109.1이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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