재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 25 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 200 mm, E = 120 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.4 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

2.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 15 kN구간 1: Ø40 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø16 mm, 0.5 m, 구리 (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.축의 비틀림보통

알루미늄 중공축(바깥지름 40 mm, 안지름 30 mm, 길이 1.2 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 250 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 250 N·md_o = 40 mmd_i = 30 mmL = 1.2 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 30 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 2 m 떨어진 B에 토크 200 N·m이(가), 거기서 1.5 m 더 떨어진 자유단 C에 반대 방향의 토크 1500 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 30 mmT_B = 200 N·mT_C = 1500 N·mAB = 2 mBC = 1.5 m

τ_max = MPa

5.전단력과 휨 모멘트보통

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1.5 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P₁, C에 집중 하중 P₂이 작용한다. 지점 B에서의 휨 모멘트 M_B을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 7.5 mP₁ = 80 kN 위치 5 mP₂ = 35 kN 위치 7.5 mx = 0과 x = 6 m에 지점

M_B = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 7.5 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mP = 45 kN 위치 1 mw = 3 kN/m, 0부터 8 m까지x = 7.5 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 30 MPa, 압축 100 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 정(正) 휨 모멘트 M_allow을(를) 구하시오.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 40 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 60° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 100 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.보의 처짐어려움

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 고정단의 휨 모멘트 크기 M_A을(를) 구하시오.

L = 8 mw = 4 kN/m

M_A = kN·m

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 30 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kNn = 3L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: P = 109.7 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 2827 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490.9) = 3.056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·2827) = 5.895 × 10⁻⁷ mm/N

하중

P = 0.4/3.645 × 10⁻⁶ = 109732 N = 109.7 kN

답

P = 109.7 kN

2.축 응력과 변형률

답: σ_max = 74.6 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 11.94 MPa

σ₂ = 74.6 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 74.6 MPa

답

σ_max = 74.6 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 3.848 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

비틀림각

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1.2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·1200/(26000·171806) = 0.06716 rad

φ = 0.06716·180/π = 3.848°

답

φ = 3.848°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 282.9 MPa

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1500 − 200 = 1300 N·m

최대 전단 응력

내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).

|T|_max = 1500 N·m

τ_max = 16·1.5 × 10⁶/(π·30³) = 282.9 MPa

답

τ_max = 282.9 MPa

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_B = −52.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 80·5 + 35·7.5

R_B = 662.5/6 = 110.4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 110.4 = 4.583 kN

B에서 자르고 내민 부분을 남긴다

내민 부분에는 P₂만 작용하며 모멘트 팔은 a입니다. 이 하중은 지점 위에서 보를 위로 볼록하게 휩니다(부모멘트).

M_B = −P₂·a = −35·1.5 = −52.5 kN·m

답

M_B = −52.5 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 8.438 kN·m

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, 작용점 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·1 + 3·8·4

R_B = 141/8 = 17.63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 69 − 17.63 = 51.38 kN

x = 7.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 51.38·7.5 − 45·(7.5 − 1) − 3·7.5·3.75 = 8.438 kN·m

답

M_x = 8.438 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 11.31 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147.5 mm

웨브: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·147.5 + 1960·70)/6160 = 122.8 mm

평행축 정리

플랜지: 280·15³/12 + 4200·(147.5 − 122.8)² = 2.633 × 10⁶ mm⁴

웨브: 14·140³/12 + 1960·(70 − 122.8)² = 8.674 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.633 × 10⁶ + 8.674 × 10⁶ = 1.131 × 10⁷ mm⁴ = 11.31 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 11.31 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: M_allow = 8.411 kN·m

도심

ȳ = (5500·232.5 + 3960·110)/9460 = 181.2 mm

윗면 가장자리: c = 245 − 181.2 = 63.78 mm

단면 2차 모멘트

I = 220·25³/12 + 5500·51.28² + 18·220³/12 + 3960·71.22² = 5.081 × 10⁷ mm⁴

각 가장자리가 허용하는 모멘트

정모멘트: 위는 압축, 아래는 인장입니다.

윗면 가장자리: M = 100·5.081 × 10⁷/63.78 = 79.66 kN·m

아랫면 가장자리: M = 30·5.081 × 10⁷/181.2 = 8.411 kN·m

지배 값

M_allow = min = 8.411 kN·m (아랫면 가장자리)

답

M_allow = 8.411 kN·m

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 39.05 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((40 − 90)/2)² + 30²) = 39.05 MPa

답

τ_max = 39.05 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = −34.46 MPa

변환 식

σ_θ = 45 + 55·−0.5 + −60·0.866 = −34.46 MPa

답

σ_θ = −34.46 MPa

11.보의 처짐

답: δ_max = 25.96 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

처짐

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·5000⁴/(384·6.27 × 10¹¹) = 25.96 mm

답

δ_max = 25.96 mm

12.보의 처짐

답: M_A = 32 kN·m

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δ_load = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 R_B만으로 자유단은 R_BL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·8/8 = 12 kN

고정단의 모멘트

하중과 받침력의 A에 대한 모멘트.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 128 − 96 = 32 kN·m

답

M_A = 32 kN·m

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 228.5 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·1500 = 750 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/750² = 228463 N = 228.5 kN

답

P_cr = 228.5 kN

14.기둥의 좌굴

답: d = 41.36 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1050²/(π³·70000))^(1/4) = 41.36 mm

답

d = 41.36 mm

확인: 세장비 KL/r는 101.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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