재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 16 mm구리2 mP = 115 kN

구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 115 kNd = 16 mmL = 2 mE = 117 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
20 kN12500 mm500 mmØ40Ø40σ2​ = ?

강철 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 20 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 20 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
T = 100 N·md = 25 mmL = 1.2 mφ = ?

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = 25 mmTB​ = 750 N·mTC​ = 500 N·mABC0.5 m0.5 m

지름 25 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 0.5 m 떨어진 B에 토크 750 N·m이(가), 거기서 0.5 m 더 떨어진 자유단 C에 반대 방향의 토크 500 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

d = 25 mmTB = 750 N·mTC = 500 N·mAB = 0.5 mBC = 0.5 m
τmax = MPa
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 6 kN/mAB단면2.5 m1.5 m

지점 A에서 x = 2.5 m인 단면의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 4 mw = 6 kN/m, 0부터 4 m까지x = 2.5 m
Vx = kN
6.전단력과 휨 모멘트어려움
15 kN50 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

15 kN @ 12 m50 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
100 mm240 mm144 mmØ60xIx​ = ?

100 mm × 240 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 60 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 144 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 100 mmh = 240 mmd = 60 mm구멍 중심: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
1601028014xM = 10 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 10 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.

bf = 160 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 280 mmM = 10 kN·m
σ아래 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 80σy​ = −30τxy​ = 50MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

σx = 80 MPaσy = −30 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 120σy​ = 30τxy​ = −40MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = −40 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 355 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σx = 120 MPaσy = 30 MPaτxy = −40 MPaσY = 355 MPa
n =
11.보의 처짐보통
w = 6 kN/mδL = 1.5 m

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 6 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
P = 3 kNP = 3 kNABδ1.667 m1.666 m1.667 m

단순보의 3등분점(각 지점에서 L/3)에 같은 집중 하중 P 두 개가 작용한다. 중첩을 이용해 경간 중앙의 처짐 δmax을(를) 구하시오.

P = 3 kNL = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
PL = 6 md = 80 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 145 kNL = 2.5 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 145 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 145 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 4889 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 115·1000/201.1 = 572 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 572/117000 = 0.004889 = 4889 µε

답

ε = 4889 µε
2.축 응력과 변형률

답: σ2 = 5.647 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm
k₂ = 110000·1257/500 = 276460 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 20000·276460/779115 = 7097 N

응력

σ2 = 7097/1257 = 5.647 MPa (압축)

답

σ2 = 5.647 MPa
3.축의 비틀림

답: φ = 2.241 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(80000·38350) = 0.03911 rad
φ = 0.03911·180/π = 2.241°

답

φ = 2.241°
4.축의 비틀림

답: τmax = 163 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

내부 토크

TC의 방향을 양으로 잡습니다.

TBC = TC = 500 N·m
TAB = TC − TB = 500 − 750 = −250 N·m

최대 전단 응력

내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).

|T|max = 500 N·m
τmax = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

답

τmax = 163 MPa
5.전단력과 휨 모멘트

답: Vx = −3 kN

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 6·4·2
RB = 48/4 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 24 − 12 = 12 kN
w = 6 kN/mABRA​ = 12RB​ = 12단면2.5 m1.5 m

x = 2.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

V = RA − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)
Vx = 12 − 6·2.5 = −3 kN

답

Vx = −3 kN
6.전단력과 휨 모멘트

답: B (x = 2 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 37 kN, R2 = 28 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 74 kN·m, MC = 48, MD = 22, ME = −4, MF = −30, MG = 0

답

표시점 B: MB = 74 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 112.7 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (24000·120 − 2827·144)/(24000 − 2827) = 116.8 mm

ȳ에 대한 전체 판

100·240³/12 + 24000·3.205² = 115.4 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·60⁴/64 + 2827·27.21² = 2.729 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 112.7 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 112.7 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ아래 = 36.76 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 160·10 = 1600 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
웨브: Aw = 14·280 = 3920 mm², yw = 280/2 = 140 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1600·285 + 3920·140)/5520 = 182 mm

평행축 정리

플랜지: 160·10³/12 + 1600·(285 − 182)² = 1.698 × 10⁷ mm⁴
웨브: 14·280³/12 + 3920·(140 − 182)² = 3.254 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1.698 × 10⁷ + 3.254 × 10⁷ = 4.951 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 182 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·182/4.951 × 10⁷ = 36.76 MPa

답

σ아래 = 36.76 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: τmax = 74.33 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

모어 원의 반지름

τmax = R = √(((80 − −30)/2)² + 50²) = 74.33 MPa

답

τmax = 74.33 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: n = 2.626

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 75 MPa, R = 60.21 MPa
σ1 = 135.2 MPa, σ2 = 14.79 MPa, σ3 = 0

트레스카

σmax − σmin = 135.2 MPa
n = 355/135.2 = 2.626

답

n = 2.626

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

11.보의 처짐

답: δ = 40.61 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 1500 mm
EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 6·1500⁴/(8·9.35 × 10¹⁰) = 40.61 mm

답

δ = 40.61 mm
12.보의 처짐

답: δmax = 1.585 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 3000 N, L = 5000 mm
EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

L/3의 하중 하나

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm
δ₁ = 0.7923 mm

두 하중 더하기

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 1.585 mm

답

δmax = 1.585 mm
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 441 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/3000² = 440978 N = 441 kN

답

Pcr = 441 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 72.78 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 3·145000 = 435000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 72.78 mm

답

d = 72.78 mm

확인: 세장비 KL/r는 137.4이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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