축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 115 kNd = 16 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 55 kN구간 1: Ø25 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø20 mm, 0.5 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
비틀림 시험에서 지름 12 mm인 속이 찬 시편에 토크 20 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 400 mm의 양 끝이 서로 5.77° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.
T = 20 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 5.77°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 강철 축이 750 rpm에서 50 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.5°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 50 kWN = 750 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.5°/mG = 80 GPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 1.5 m인 단면의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 4 mw = 8 kN/m, 0부터 4 m까지x = 1.5 m
Vx = kN
6.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 2 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mP = 60 kN 위치 2 mw = 4 kN/m, 0부터 8 m까지x = 2 m
Mx = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
120 mm × 200 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 40 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 130 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 200 mmd = 40 mm구멍 중심: y = 130 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
200 mm × 150 mm 판에 폭 60 mm, 높이 40 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 105 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 200 mmh = 150 mm절취부: 60 × 40 mm구멍 중심: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = 90 MPa이다. 최대 주응력이 125 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?
σx = 60 MPaσy = 90 MPaσ1 = 125 MPa
τxy = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −50 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 35° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = −50 MPaσy = −10 MPaτxy = −40 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
w = 20 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 15 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 35 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 35 kNn = 2.5L = 1 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 2860 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 115·1000/201.1 = 572 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 572/200000 = 0.00286 = 2860 µε
답
ε = 2860 µε
2.축 응력과 변형률
답: δ = 1.395 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 112 MPa
σ2 = 175.1 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 112·1000/117000 = 0.9577 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 175.1·500/200000 = 0.4377 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.395 mm
답
δ = 1.395 mm
3.축의 비틀림
답: G = 39.02 GPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트와 각
J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 5.77·π/180 = 0.1007 rad
전단 탄성 계수
T = 20 N·m = 20000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 20000·400/(2036·0.1007) = 39022 MPa
G = 39.02 GPa
답
G = 39.02 GPa
비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.
4.축의 비틀림
답: d = 55.21 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 50000/78.54 = 636.6 N·m
강도 기준 지름
T = 636.6 N·m = 636620 N·mm
dτ = ∛(16·636620/(π·75)) = 35.1 mm
강성 기준 지름
θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·636620/(π·80000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 55.21 mm
지배 지름
두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.
d = max(35.1, 55.21) = 55.21 mm
답
d = 55.21 mm
여기서는 강성이 지배합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Vx = 4 kN
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, 작용점 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·4·2
RB = 64/4 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
x = 1.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
V = RA − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)
Vx = 16 − 8·1.5 = 4 kN
답
Vx = 4 kN
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 114 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 60·2 + 4·8·4
RB = 248/8 = 31 kN
ΣFy = 0: RA = 92 − 31 = 61 kN
x = 2 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 61·2 − 4·2·1 = 114 kN·m
답
Mx = 114 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 78.68 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (24000·100 − 1257·130)/(24000 − 1257) = 98.34 mm
ȳ에 대한 전체 판
120·200³/12 + 24000·1.658² = 80.07 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·40⁴/64 + 1257·31.66² = 1.385 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 78.68 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 78.68 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 53.58 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (30000·75 − 2400·105)/(30000 − 2400) = 72.39 mm
ȳ에 대한 전체 판
200·150³/12 + 30000·2.609² = 56.45 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
60·40³/12 + 2400·32.61² = 2.872 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 53.58 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 53.58 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: τxy = 47.7 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
필요한 반지름
C = (60 + 90)/2 = 75 MPa
R = σ1 − C = 125 − 75 = 50 MPa
전단 응력
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 15²) = 47.7 MPa
답
τxy = 47.7 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: σθ = −74.43 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = −30 + −20·0.342 + −40·0.9397 = −74.43 MPa
답
σθ = −74.43 MPa
11.보의 처짐
답: δmax = 37.88 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 20 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
처짐
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 37.88 mm
답
δmax = 37.88 mm
12.보의 처짐
답: Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·15·6000⁴/(384·70000·16.67) = 2.17 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 217 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 151.4 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·1000 = 2000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2000² = 151398 N = 151.4 kN
답
Pcr = 151.4 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 43.6 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·35000 = 87500 N
KL = 2·1000 = 2000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·87500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 43.6 mm
답
d = 43.6 mm
확인: 세장비 KL/r는 183.5이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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