축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 200 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.
P = 200 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 75 kN구간 1: Ø25 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
알루미늄 중공축(바깥지름 30 mm, 안지름 21 mm, 길이 1.2 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 100 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.
T = 100 N·mdo = 30 mmdi = 21 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 1450 rpm에서 75 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 75 kWN = 1450 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 5.5 m인 단면의 전단력 Vx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 10 mw = 8 kN/m, 0부터 10 m까지x = 5.5 m
Vx = kN
6.전단력과 휨 모멘트어려움
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1.5 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. A에서 지점 사이의 반곡점(휨 모멘트의 부호가 바뀌는 점)까지의 거리 xc을(를) 구하시오.
L = 9.5 mw = 6 kN/m, 0부터 9.5 m까지x = 0과 x = 8 m에 지점
xc = m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
100 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 105 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 100 mmh = 150 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
150 mm × 300 mm 판에 폭 80 mm, 높이 20 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 105 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 150 mmh = 300 mm절취부: 80 × 20 mm구멍 중심: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = −60 MPaσy = 20 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
지름 20 mm인 속이 찬 축이 축방향 인장력 60 kN와(과) 토크 250 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.
d = 20 mmF = 60 kNT = 250 N·m
σ1 = MPa
11.보의 처짐보통
캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.
w = 15 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (강철)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δmax을(를) 구하시오.
P = 26 kNw = 15 kN/mL = 1.5 mE = 200 GPa (강철)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 40 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 40 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 0.1267 mm
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·9346 = 1.263 × 10⁹ N
줄어든 길이
δ = 200000·800/1.263 × 10⁹ = 0.1267 mm
답
δ = 0.1267 mm
2.축 응력과 변형률
답: δ = 3.152 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 152.8 MPa
σ2 = 238.7 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 152.8·1500/117000 = 1.959 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 238.7·1000/200000 = 1.194 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.152 mm
답
δ = 3.152 mm
3.축의 비틀림
답: φ = 4.376 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴
비틀림각
T = 100 N·m = 100000 N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 100000·1200/(26000·60428) = 0.07638 rad
φ = 0.07638·180/π = 4.376°
답
φ = 4.376°
4.축의 비틀림
답: d = 32.25 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 75000/151.8 = 493.9 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·493929/(π·75)) = 32.25 mm
답
d = 32.25 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Vx = −4 kN
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, 작용점 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 8·10·5
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 40 = 40 kN
x = 5.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
V = RA − (절단면 왼쪽의 모든 아래 방향 하중)
Vx = 40 − 8·5.5 = −4 kN
답
Vx = −4 kN
6.전단력과 휨 모멘트
답: xc = 7.719 m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·9.5 = 57 kN, 작용점 x̄ = 4.75 m
ΣMA = 0: RB·8 = 6·9.5·4.75
RB = 270.8/8 = 33.84 kN
ΣFy = 0: RA = 57 − 33.84 = 23.16 kN
모멘트 0
지점 사이에서 M(x) = RA·x − w·x²/2. x = 0을 제외하면 x = 2RA/w에서 0이 됩니다.
RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·23.16/6 = 7.719 m
답
xc = 7.719 m
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 25.78 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (15000·75 − 1963·105)/(15000 − 1963) = 70.48 mm
ȳ에 대한 전체 판
100·150³/12 + 15000·4.518² = 28.43 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·50⁴/64 + 1963·34.52² = 2.646 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 25.78 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 25.78 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 334.1 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (45000·150 − 1600·105)/(45000 − 1600) = 151.7 mm
ȳ에 대한 전체 판
150·300³/12 + 45000·−1.659² = 337.6 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
80·20³/12 + 1600·−46.66² = 3.537 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 334.1 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 334.1 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 44.72 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((−60 − 20)/2)² + −20²) = 44.72 MPa
답
τmax = 44.72 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: σ1 = 281.1 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = F/A = 60000/(π·20²/4) = 60000/314.2 = 191 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·20³) = 159.2 MPa
모어 원
C = σ/2 = 95.49 MPa
R = √(95.49² + 159.2²) = 185.6 MPa
σ1 = C + R = 281.1 MPa
σ2 = C − R = −90.11 MPa
답
σ1 = 281.1 MPa
11.보의 처짐
답: δ = 75.94 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 15 N/mm, L = 6000 mm
EI = 3.2 × 10¹³ N·mm²
처짐
δ = wL⁴/(8EI) = 15·6000⁴/(8·3.2 × 10¹³) = 75.94 mm
답
δ = 75.94 mm
12.보의 처짐
답: δmax = 1.174 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 26000 N, w = 15 N/mm, L = 1500 mm, EI = 2.4 × 10¹² N·mm²
각 하중을 따로
δP = PL³/(48EI) = 26000·1500³/(48·2.4 × 10¹²) = 0.7617 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·1500⁴/(384·2.4 × 10¹²) = 0.412 mm
더하기
δmax = 0.7617 + 0.412 = 1.174 mm
답
δmax = 1.174 mm
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 24.22 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·2500 = 5000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/5000² = 24224 N = 24.22 kN
답
Pcr = 24.22 kN
14.기둥의 좌굴
답: d = 80.32 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2·40000 = 80000 N
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 80.32 mm
답
d = 80.32 mm
확인: 세장비 KL/r는 209.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
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