재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 30 kNd = 12 mmL = 1.5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 50 kN구간 1: Ø35 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø20 mm, 0.5 m, 황동 (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.축의 비틀림보통

길이 3 m인 속이 찬 황동 축이 토크 2000 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 1.5°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 2000 N·mL = 3 mG = 39 GPaφ_allow = 1.5°

d = mm

4.축의 비틀림어려움

중공축이 300 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.5배로 하고, 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0.5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.전단력과 휨 모멘트보통

단순보의 A에서 x = 4 m인 곳에 시계 방향 우력 M₀ = 20 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 오른쪽의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mM₀ = 20 kN·m 시계 방향, 위치 4 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 8 mP = 50 kN 위치 3 mw = 6 kN/m, 0부터 8 m까지

M_max = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

200 mm × 240 mm 판에 폭 30 mm, 높이 40 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 72 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 200 mmh = 240 mm절취부: 30 × 40 mm구멍 중심: y = 72 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = −60 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 600 mm, 벽 두께 15 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 2 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 55°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τ_n|을(를) 구하시오.

D = 600 mmt = 15 mmp = 2 MPaα = 55°

|τ_n| = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

w = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.보의 처짐어려움

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 R_B을(를) 구하시오.

L = 6 mP = 60 kN 위치 3 m

R_B = kN

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 2267 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 30·1000/113.1 = 265.3 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 265.3/117000 = 0.002267 = 2267 µε

답

ε = 2267 µε

2.축 응력과 변형률

답: σ_max = 159.2 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·35²/4 = 962.1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 51.97 MPa

σ₂ = 159.2 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 159.2 MPa

답

σ_max = 159.2 MPa

3.축의 비틀림

답: d = 87.96 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1.5·π/180 = 0.02618 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·3000/(39000·0.02618) = 5.876 × 10⁶ mm⁴

지름

d = (32J/π)^1/4 = 87.96 mm

답

d = 87.96 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: d_o = 38.63 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 20000/31.42 = 636.6 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 636.6 N·m = 636620 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·636620/(π·60·0.9375)) = 38.63 mm

d_i = 0.5·38.63 = 19.31 mm

답

d_o = 38.63 mm

속이 찬 축이라면 d = 37.81 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 10 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.

지점 반력

A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: R_B·L − M₀ = 0. 연직 평형: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 20/8 = 2.5 kN (위쪽)

R_A = −R_B = −2.5 kN (아래쪽)

우력 바로 오른쪽에서 자른다

이제 왼쪽 부분에는 R_A와 우력이 포함됩니다.

M_x = R_A·a + M₀ = −2.5·4 + 20 = 10 kN·m

답

M_x = 10 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 138.8 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, 작용점 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 50·3 + 6·8·4

R_B = 342/8 = 42.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 98 − 42.75 = 55.25 kN

V = 0인 곳은?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 37.25 kN

V(3⁺) = 37.25 − 50 = −12.75 kN

전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.

최대 모멘트

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 55.25·3 − 6·3²/2 = 138.8 kN·m

답

M_max = 138.8 kN·m

A에서 x = 3 m인 곳에서 생깁니다.

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 25.86 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

웨브: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·215 + 2400·100)/5400 = 163.9 mm

평행축 정리

플랜지: 100·30³/12 + 3000·(215 − 163.9)² = 8.062 × 10⁶ mm⁴

웨브: 12·200³/12 + 2400·(100 − 163.9)² = 1.78 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.062 × 10⁶ + 1.78 × 10⁷ = 2.586 × 10⁷ mm⁴ = 25.86 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 25.86 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 227.4 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (48000·120 − 1200·72)/(48000 − 1200) = 121.2 mm

ȳ에 대한 전체 판

200·240³/12 + 48000·−1.231² = 230.5 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

30·40³/12 + 1200·−49.23² = 3.068 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 227.4 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 227.4 × 10⁶ mm⁴

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 28.28 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((−60 − −20)/2)² + 20²) = 28.28 MPa

답

τ_max = 28.28 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: |τ_n| = 9.397 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 2·300/15 = 40 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

|τ_n| = (40 − 20)·sin 55°·cos 55° = 9.397 MPa

답

|τ_n| = 9.397 MPa

11.보의 처짐

답: δ_max = 1.894 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

처짐

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 1.894 mm

답

δ_max = 1.894 mm

12.보의 처짐

답: R_B = 18.75 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 R_B만으로 자유단은 R_BL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·60/16 = 18.75 kN

답

R_B = 18.75 kN

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 163.8 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1500 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/1500² = 163762 N = 163.8 kN

답

P_cr = 163.8 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 4.819 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/6.25 = 640

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4.819 MPa

답

σ_cr = 4.819 MPa

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