축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 15 kNd = 20 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 95 kN구간 1: Ø30 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)
δ = mm
3.축의 비틀림보통
황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 100 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 1800 rpm에서 5 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 5 kWN = 1800 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 2 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 휨 모멘트 MA을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mP = 25 kN 위치 2 mw = 3 kN/m, 0부터 5 m까지
MA = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 8 mP = 70 kN 위치 7 mw = 5 kN/m, 0부터 8 m까지
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 260 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 20 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.
bf = 260 mmtf = 30 mmtw = 18 mmhw = 100 mmM = 20 kN·m
σ위 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = −10 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.
σx = −10 MPaσy = 60 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 0 MPa, τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 250 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.
σx = 30 MPaσy = 0 MPaτxy = 30 MPaσY = 250 MPa
n =
11.보의 처짐보통
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.
w = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w가 작용한다. 처짐은 경간/360을 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 단면 2차 모멘트 Ireq을(를) 구하시오.
w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: ε = 238.7 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 15·1000/314.2 = 47.75 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 47.75/200000 = 0.0002387 = 238.7 µε
답
ε = 238.7 µε
2.축 응력과 변형률
답: δ = 16.37 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 134.4 MPa
σ2 = 840 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 134.4·1500/100000 = 2.016 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 840·2000/117000 = 14.36 mm
δ = δ1 + δ2 = 16.37 mm
답
δ = 16.37 mm
3.축의 비틀림
답: φ = 0.5845 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 100·1000·1000/(39000·251327) = 0.0102 rad
φ = 0.0102·180/π = 0.5845°
답
φ = 0.5845°
4.축의 비틀림
답: d = 15 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
T = P/ω = 5000/188.5 = 26.53 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·26526/(π·40)) = 15 mm
답
d = 15 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: MA = −87.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −25·2 = −50 kN·m
w: −3·5²/2 = −37.5 kN·m
MA = −50 − 37.5 = −87.5 kN·m
답
MA = −87.5 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 82.66 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 70·7 + 5·8·4
RB = 650/8 = 81.25 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 81.25 = 28.75 kN
V = 0인 곳은?
RA − w·x0 = 0 → x0 = 28.75/5 = 5.75 m
최대 모멘트
Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 28.75·5.75 − 5·5.75²/2 = 82.66 kN·m
답
Mmax = 82.66 kN·m
A에서 x = 5.75 m인 곳에서 생깁니다.
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 5.887 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 260·25 = 6500 mm², yf = 120 + 25/2 = 132.5 mm
웨브: Aw = 8·120 = 960 mm², yw = 120/2 = 60 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6500·132.5 + 960·60)/7460 = 123.2 mm
평행축 정리
플랜지: 260·25³/12 + 6500·(132.5 − 123.2)² = 904330 mm⁴
웨브: 8·120³/12 + 960·(60 − 123.2)² = 4.983 × 10⁶ mm⁴
Ix = 904330 + 4.983 × 10⁶ = 5.887 × 10⁶ mm⁴ = 5.887 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 5.887 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ위 = 65.8 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 260·30 = 7800 mm², yf = 100 + 30/2 = 115 mm
웨브: Aw = 18·100 = 1800 mm², yw = 100/2 = 50 mm
도심
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7800·115 + 1800·50)/9600 = 102.8 mm
평행축 정리
플랜지: 260·30³/12 + 7800·(115 − 102.8)² = 1.744 × 10⁶ mm⁴
웨브: 18·100³/12 + 1800·(50 − 102.8)² = 6.52 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.744 × 10⁶ + 6.52 × 10⁶ = 8.264 × 10⁶ mm⁴
휨 응력
위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.
y = 130 − 102.8 = 27.19 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·27.19/8.264 × 10⁶ = 65.8 MPa
답
σ위 = 65.8 MPa
9.모어 원과 응력 변환
답: θs = 74.87 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.
cos 2θs = −60/69.46 = −0.8638, sin 2θs = −(−35)/69.46 = 0.5039
2θs = atan2(35, −60) = 149.7°
요소에서의 각도
θs = 74.87°
검산: θs − θp = 74.87 − (−60.13) = 135°
답
θs = 74.87°
반시계 방향 각도가 양입니다.
10.모어 원과 응력 변환
답: n = 4.167
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = 15 MPa, R = 33.54 MPa
σ1 = 48.54 MPa, σ2 = −18.54 MPa, σ3 = 0
폰 미제스
σvM = √(48.54² − 48.54·(−18.54) + (−18.54)²) = 60 MPa
n = 250/60 = 4.167
답
n = 4.167
n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.
11.보의 처짐
답: δmax = 11.36 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
w = 6 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
처짐
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·1.76 × 10¹²) = 11.36 mm
답
δmax = 11.36 mm
12.보의 처짐
답: Ireq = 34.29 × 10⁶ mm⁴
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
처짐 한계
δallow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm
필요한 단면 2차 모멘트
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·4000⁴/(384·70000·11.11) = 3.429 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 34.29 × 10⁶ mm⁴
답
Ireq = 34.29 × 10⁶ mm⁴
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 82.25 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·2500 = 5000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1.042 × 10⁶/5000² = 82247 N = 82.25 kN
답
Pcr = 82.25 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 4.318 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/6.25 = 400
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa
답
σcr = 4.318 MPa
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