재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 80 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 80 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 60 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 1000 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.전단력과 휨 모멘트보통

단순보의 A에서 x = 3 m인 곳에 시계 방향 우력 M₀ = 45 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 왼쪽의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mM₀ = 45 kN·m 시계 방향, 위치 3 m

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 1 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mP = 25 kN 위치 2.5 mw = 12 kN/m, 0부터 5 m까지x = 1 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 20 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ_아래을(를) 구하시오.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mmM = 20 kN·m

σ_아래 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = 20 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = −30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

지름 30 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 750 N·m와(과) 토크 1000 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 최대 주응력 σ₁을(를) 구하시오.

d = 30 mmM = 750 N·mT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θ_A을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (강철)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.보의 처짐어려움

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 경간 중앙에 집중 하중 P가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 R_B을(를) 구하시오.

L = 3 mP = 55 kN 위치 1.5 m

R_B = kN

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1698 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·2199 = 2.827 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 80000·600/2.827 × 10⁸ = 0.1698 mm

답

δ = 0.1698 mm

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 12.38 MPa

강성

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 70000·1257/400 = 219911 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 60000·219911/848230 = 15556 N

응력

σ₂ = 15556/1257 = 12.38 MPa (압축)

답

σ₂ = 12.38 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 1.425 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(80000·251327) = 0.02487 rad

φ = 0.02487·180/π = 1.425°

답

φ = 1.425°

4.축의 비틀림

답: d = 26.89 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·190986/(π·50)) = 26.89 mm

답

d = 26.89 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = −22.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.

지점 반력

A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: R_B·L − M₀ = 0. 연직 평형: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 45/6 = 7.5 kN (위쪽)

R_A = −R_B = −7.5 kN (아래쪽)

우력 바로 왼쪽에서 자른다

왼쪽 부분에는 R_A만 포함됩니다.

M_x = R_A·a = −7.5·3 = −22.5 kN·m

답

M_x = −22.5 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 36.5 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·2.5 + 12·5·2.5

R_B = 212.5/5 = 42.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 42.5 = 42.5 kN

x = 1 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 42.5·1 − 12·1·0.5 = 36.5 kN·m

답

M_x = 36.5 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 3.408 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

웨브: A_w = 8·100 = 800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·110 + 800·50)/6800 = 102.9 mm

평행축 정리

플랜지: 300·20³/12 + 6000·(110 − 102.9)² = 498962 mm⁴

웨브: 8·100³/12 + 800·(50 − 102.9)² = 2.909 × 10⁶ mm⁴

I_x = 498962 + 2.909 × 10⁶ = 3.408 × 10⁶ mm⁴ = 3.408 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 3.408 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_아래 = 52.27 MPa

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

웨브: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·290 + 4480·140)/10080 = 223.3 mm

평행축 정리

플랜지: 280·20³/12 + 5600·(290 − 223.3)² = 2.508 × 10⁷ mm⁴

웨브: 16·280³/12 + 4480·(140 − 223.3)² = 6.038 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.508 × 10⁷ + 6.038 × 10⁷ = 8.546 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 223.3 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·223.3/8.546 × 10⁷ = 52.27 MPa

답

σ_아래 = 52.27 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 40.31 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 5 MPa, R = √((−35)² + 20²) = 40.31 MPa

σ₁ = 45.31 MPa, σ₂ = −35.31 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(80.62, 45.31, 35.31)/2 = 40.31 MPa

답

τ_abs = 40.31 MPa

여기서는 σ₁과 σ₂의 부호가 반대이므로 면내 최댓값 R이 곧 절대 최댓값입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σ₁ = 377.3 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

표면의 응력

σ = 32M/(πd³) = 32·750000/(π·30³) = 282.9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·30³) = 188.6 MPa

모어 원

C = σ/2 = 141.5 MPa

R = √(141.5² + 188.6²) = 235.8 MPa

σ₁ = C + R = 377.3 MPa

σ₂ = C − R = −94.31 MPa

답

σ₁ = 377.3 MPa

11.보의 처짐

답: θ_A = 0.008696 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

끝 처짐각

θ_A = wL³/(24EI) = 15·4000³/(24·4.6 × 10¹²) = 0.008696 rad

답

θ_A = 0.008696 rad

0.4982°입니다.

12.보의 처짐

답: R_B = 17.19 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 R_B만으로 자유단은 R_BL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·55/16 = 17.19 kN

답

R_B = 17.19 kN

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 163.8 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1500 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/1500² = 163762 N = 163.8 kN

답

P_cr = 163.8 kN

14.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 34.27 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/12.5 = 240

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34.27 MPa

답

σ_cr = 34.27 MPa

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