재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 50 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 50 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa, 허용응력 250 MPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 100 GPa, 허용응력 50 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 200 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 60 mm인 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 1.5 m 떨어진 B에 토크 200 N·m이(가), 거기서 2.5 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 500 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 60 mmT_B = 200 N·mT_C = 500 N·mAB = 1.5 mBC = 2.5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.전단력과 휨 모멘트보통

단순보에 두 개의 집중 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 4 mP₁ = 45 kN 위치 1 mP₂ = 45 kN 위치 1.5 m

M_max = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

단순보의 경간 일부에 등분포 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 6 mw = 4 kN/m, 1부터 5 m까지

M_max = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

120 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 40 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 60 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mm구멍 중심: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 20 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ_아래을(를) 구하시오.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mmM = 20 kN·m

σ_아래 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = −50 MPa, τₓᵧ = −50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 110 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 25° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = −60 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.보의 처짐보통

길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 1 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 자유단 B의 처짐 δ_B을(를) 구하시오.

P = 12 kNa = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.보의 처짐어려움

단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δ_max을(를) 구하시오.

P = 20 kNw = 6 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 100 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 100 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.04945 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·7461 = 8.09 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 50000·800/8.09 × 10⁸ = 0.04945 mm

답

δ = 0.04945 mm

2.축 응력과 변형률

답: P_max = 549.8 kN

넓이

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·8482 = 1.1 × 10⁹ N

지배 변형률

ε = min(0.00125, 0.0005) = 0.0005 (황동)

최대 하중

P_max = 0.0005·1.1 × 10⁹ = 549779 N = 549.8 kN

답

P_max = 549.8 kN

3.축의 비틀림

답: φ = 2.956 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(39000·79522) = 0.05159 rad

φ = 0.05159·180/π = 2.956°

답

φ = 2.956°

4.축의 비틀림

답: φ_C = 3.984 °

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 200 = 700 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 700000·1500/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.03174 rad

φ_BC = 500000·2500/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.03779 rad

끝 C의 비틀림각

φ_C = 0.03174 + 0.03779 = 0.06953 rad → |φ_C| = 3.984°

답

φ_C = 3.984°

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 70.31 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1 + 45·1.5

R_B = 112.5/4 = 28.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 28.13 = 61.88 kN

각 하중 아래의 모멘트

각 하중의 왼쪽 부분을 남깁니다.

아래 P₁: M = R_A·1 = 61.88·1 = 61.88 kN·m

아래 P₂: M = R_B·2.5 = 28.13·2.5 = 70.31 kN·m

최댓값

M_max = 70.31 kN·m (아래 P₂)

답

M_max = 70.31 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 16 kN·m

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, 작용점 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·4·3

R_B = 48/6 = 8 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 8 = 8 kN

전단력 0

전단력은 R_A에서 시작해 하중이 없는 구간에서는 일정하고, 하중 구간 안에서는 기울기 w로 감소합니다.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 8/4 = 3 m

최대 모멘트

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 8·3 − 4·2²/2 = 16 kN·m

답

M_max = 16 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 33.32 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 I_c = bh³/12, 원은 I_c = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (18000·75 − 1257·60)/(18000 − 1257) = 76.13 mm

ȳ에 대한 전체 판

120·150³/12 + 18000·−1.126² = 33.77 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·40⁴/64 + 1257·−16.13² = 0.4524 × 10⁶ mm⁴

빼기

I_x = 33.32 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 33.32 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_아래 = 107.5 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

웨브: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·195 + 3240·90)/6240 = 140.5 mm

평행축 정리

플랜지: 100·30³/12 + 3000·(195 − 140.5)² = 9.142 × 10⁶ mm⁴

웨브: 18·180³/12 + 3240·(90 − 140.5)² = 1.7 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9.142 × 10⁶ + 1.7 × 10⁷ = 2.615 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 140.5 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·140.5/2.615 × 10⁷ = 107.5 MPa

답

σ_아래 = 107.5 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 94.34 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((110 − −50)/2)² + −50²) = 94.34 MPa

답

τ_max = 94.34 MPa

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = −40.59 MPa

변환 식

σ_θ = −70 + 10·0.6428 + 30·0.766 = −40.59 MPa

답

σ_θ = −40.59 MPa

11.보의 처짐

답: δ_B = 12.5 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 12000 N, a = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

자유단의 처짐

하중 위치의 처짐 더하기 하중 위치의 처짐각 × 나머지 길이.

δ_P = Pa³/(3EI) = 2.273 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.003409 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 12.5 mm

답

δ_B = 12.5 mm

12.보의 처짐

답: δ_max = 35.35 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 20000 N, w = 6 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

각 하중을 따로

δ_P = PL³/(48EI) = 20000·4000³/(48·1.32 × 10¹²) = 20.2 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 15.15 mm

더하기

δ_max = 20.2 + 15.15 = 35.35 mm

답

δ_max = 35.35 mm

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 18.05 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·5000 = 3500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/3500² = 18047 N = 18.05 kN

답

P_cr = 18.05 kN

14.기둥의 좌굴

답: d = 59.32 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·100000 = 300000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 59.32 mm

답

d = 59.32 mm

확인: 세장비 KL/r는 134.9이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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