재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 40 kNd = 10 mmL = 1.5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 25 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.축의 비틀림보통

황동 중공축(바깥지름 60 mm, 안지름 45 mm, 길이 1 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 1500 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 1500 N·md_o = 60 mmd_i = 45 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 1500 rpm에서 100 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 100 kWN = 1500 rpmd_o = 60 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.전단력과 휨 모멘트보통

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P₁, C에 집중 하중 P₂이 작용한다. 하중 P₁ 아래의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 7 mP₁ = 40 kN 위치 2 mP₂ = 45 kN 위치 7 mx = 0과 x = 5 m에 지점

M_x = kN·m

6.전단력과 휨 모멘트어려움

지점 A에서 x = 2 m인 단면의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 10 mP = 15 kN 위치 2 mw = 4 kN/m, 0부터 10 m까지x = 2 m

M_x = kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 300 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 160 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 8 mm이다. 밑변에서 도심까지의 높이 ȳ을(를) 구하시오.

b = 300 mmh = 160 mmt = 8 mm

ȳ = mm

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 40 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ_아래을(를) 구하시오.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 260 mmM = 40 kN·m

σ_아래 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 130 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = 130 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

10.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 50° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 100 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.보의 처짐보통

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θ_A을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 10 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (강철)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.보의 처짐어려움

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 R_B을(를) 구하시오.

L = 3 mw = 8 kN/m

R_B = kN

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 120 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 120 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 2546 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 40·1000/78.54 = 509.3 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 509.3/200000 = 0.002546 = 2546 µε

답

ε = 2546 µε

2.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 16.65 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·490.9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 120000·1257/400 = 376991 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 30000·376991/540616 = 20920 N

응력

σ₂ = 20920/1257 = 16.65 MPa (압축)

답

σ₂ = 16.65 MPa

3.축의 비틀림

답: φ = 2.534 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

비틀림각

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1.5 × 10⁶·1000/(39000·869767) = 0.04422 rad

φ = 0.04422·180/π = 2.534°

답

φ = 2.534°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 21.96 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 100000/157.1 = 636.6 N·m

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·30/869767 = 21.96 MPa

답

τ_max = 21.96 MPa

5.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 12 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·2 + 45·7

R_B = 395/5 = 79 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 79 = 6 kN

P₁ 아래에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다

M_x = R_A·2 = 6·2 = 12 kN·m

답

M_x = 12 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 56 kN·m

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, 작용점 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·2 + 4·10·5

R_B = 230/10 = 23 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 23 = 32 kN

x = 2 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = R_A·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)

M_x = 32·2 − 4·2·1 = 56 kN·m

답

M_x = 56 kN·m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: ȳ = 44.26 mm

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

직사각형으로 나누기

밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.

기제: A₁ = 300·8 = 2400 mm², y₁ = 4 mm

두 다리: A₂ = 2·8·152 = 2432 mm², y₂ = 8 + 152/2 = 84 mm

도심

ȳ = (2400·4 + 2432·84)/4832 = 44.26 mm

답

ȳ = 44.26 mm

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_아래 = 168.6 MPa

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272.5 mm

웨브: A_w = 12·260 = 3120 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·272.5 + 3120·130)/5620 = 193.4 mm

평행축 정리

플랜지: 100·25³/12 + 2500·(272.5 − 193.4)² = 1.578 × 10⁷ mm⁴

웨브: 12·260³/12 + 3120·(130 − 193.4)² = 3.011 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.578 × 10⁷ + 3.011 × 10⁷ = 4.589 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 193.4 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·193.4/4.589 × 10⁷ = 168.6 MPa

답

σ_아래 = 168.6 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = −78.69 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = −60/65 = −0.9231, sin 2θ_s = −25/65 = −0.3846

2θ_s = atan2(−25, −60) = −157.4°

요소에서의 각도

θ_s = −78.69°

검산: θ_s − θ_p = −78.69 − (−33.69) = −45°

답

θ_s = −78.69°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 100.2 MPa

변환 식

σ_θ = 75 + 25·−0.1736 + 30·0.9848 = 100.2 MPa

답

σ_θ = 100.2 MPa

11.보의 처짐

답: θ_A = 0.0031 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

끝 처짐각

θ_A = wL³/(24EI) = 10·5000³/(24·1.68 × 10¹³) = 0.0031 rad

답

θ_A = 0.0031 rad

0.1776°입니다.

12.보의 처짐

답: R_B = 9 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δ_load = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 R_B만으로 자유단은 R_BL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·3/8 = 9 kN

답

R_B = 9 kN

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 3.655 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·6000 = 12000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/12000² = 3655 N = 3.655 kN

답

P_cr = 3.655 kN

14.기둥의 좌굴

답: d = 51.37 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·120000 = 300000 N

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 51.37 mm

답

d = 51.37 mm

확인: 세장비 KL/r는 116.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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재료역학: 벼락치기 팩

1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

축의 비틀림

방법

전단력과 휨 모멘트

방법

도심과 단면 2차 모멘트

모어 원과 응력 변환

방법

보의 처짐

기둥의 좌굴

2연습 문제

3용액

응력

변형률 (훅의 법칙)

답

강성

구간 2의 몫

응력

답

극관성 모멘트

비틀림각

답

토크

극관성 모멘트

최대 전단 응력

답

지점 반력

P1 아래에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다

답

지점 반력

x = 2 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

답

직사각형으로 나누기

도심

답

두 직사각형으로 나누기

도심

평행축 정리

휨 응력

답

원 위의 각도

요소에서의 각도

답

변환 식

답

단위 맞추기

끝 처짐각

답

받침 제거

받침에서의 적합 조건

답

최소 단면 2차 모멘트

유효 좌굴 길이

임계 하중

답

필요한 임계 하중

지름에 대해 풀기

답

P₁ 아래에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다