축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
재료역학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
전단력과 휨 모멘트
- 전단력과 휨모멘트
- V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
- 휨 응력
- σ = M·y/I
- 직사각형
- I = bh³/12
- 단면 계수
- W = I/ymax
- 단순 지지, 등분포 하중
- Mmax = wL²/8
방법
- 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
- 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
- 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
- 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
- 도심
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 직사각형
- I = bh³/12
- 평행축 정리
- I = Ic + A·d²
- 합성 단면
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
보의 처짐
- 경간 중앙 집중 하중
- δ = PL³/(48EI)
- 등분포 하중, 단순 지지
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 캔틸레버, 끝단 하중
- δ = PL³/(3EI)
- 캔틸레버, 등분포 하중
- δ = wL⁴/(8EI)
- 중첩의 원리
- δ = δ1 + δ2
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2연습 문제
1.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 95 kNd = 30 mmL = 3 mE = 117 GPa
δ = mm
2.축 응력과 변형률어려움
강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa, 허용응력 200 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa, 허용응력 80 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.
막대: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 1000 N·md = 40 mmL = 1.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 300 rpm에서 5 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 5 kWN = 300 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 3.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mw = 2 kN/m, 0부터 5 m까지x = 3.5 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 5 mP = 60 kN 위치 4 mw = 3 kN/m, 0부터 5 m까지
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
100 mm × 240 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 40 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 156 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 100 mmh = 240 mmd = 40 mm구멍 중심: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 60 MPa, 압축 90 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 부(負) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오(크기로 답하시오).
bf = 140 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 260 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 90 MPa
Mallow = kN·m
9.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 시계 방향 30° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.
σx = 60 MPaσy = 100 MPaτxy = −20 MPaθ = -30°
σy′ = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
안지름 500 mm, 벽 두께 6 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1.2 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 30°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σn을(를) 구하시오.
D = 500 mmt = 6 mmp = 1.2 MPaα = 30°
σn = MPa
11.보의 처짐보통
길이 L인 캔틸레버는 A에서 고정되어 있고, A에서 a = 0.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 자유단 B의 처짐 δB을(를) 구하시오.
P = 25 kNa = 0.5 mL = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.보의 처짐어려움
단순보에 등분포 하중 w와 경간 중앙의 집중 하중 P가 작용한다. 중첩을 이용해 중앙 처짐 δmax을(를) 구하시오.
P = 29 kNw = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm
σcr = MPa
3용액
1.축 응력과 변형률
답: δ = 3.446 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 95·1000/706.9 = 134.4 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 134.4/117000 = 0.001149 = 1149 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.001149·3000 mm = 3.446 mm
답
δ = 3.446 mm
2.축 응력과 변형률
답: Pmax = 217.8 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·314.2 + 120·10³·2199 = 3.267 × 10⁸ N
지배 변형률
ε = min(0.001, 0.0006667) = 0.0006667 (구리)
최대 하중
Pmax = 0.0006667·3.267 × 10⁸ = 217817 N = 217.8 kN
답
Pmax = 217.8 kN
3.축의 비틀림
답: φ = 8.768 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1500/(39000·251327) = 0.153 rad
φ = 0.153·180/π = 8.768°
답
φ = 8.768°
4.축의 비틀림
답: d = 27.26 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 5000/31.42 = 159.2 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·159155/(π·40)) = 27.26 mm
답
d = 27.26 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 5.25 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·5·2.5
RB = 25/5 = 5 kN
ΣFy = 0: RA = 10 − 5 = 5 kN
x = 3.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 5·3.5 − 2·3.5·1.75 = 5.25 kN·m
답
Mx = 5.25 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 54 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 60·4 + 3·5·2.5
RB = 277.5/5 = 55.5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 55.5 = 19.5 kN
V = 0인 곳은?
V(4⁻) = RA − w·4 = 7.5 kN
V(4⁺) = 7.5 − 60 = −52.5 kN
전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.
최대 모멘트
Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 19.5·4 − 3·4²/2 = 54 kN·m
답
Mmax = 54 kN·m
A에서 x = 4 m인 곳에서 생깁니다.
7.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 113.4 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (24000·120 − 1257·156)/(24000 − 1257) = 118 mm
ȳ에 대한 전체 판
100·240³/12 + 24000·1.989² = 115.3 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·40⁴/64 + 1257·37.99² = 1.939 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 113.4 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 113.4 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트
답: Mallow = 16.37 kN·m
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
도심
ȳ = (4200·275 + 2080·130)/6280 = 227 mm
윗면 가장자리: c = 290 − 227 = 63.03 mm
단면 2차 모멘트
I = 140·30³/12 + 4200·48.03² + 8·260³/12 + 2080·96.97² = 4.128 × 10⁷ mm⁴
각 가장자리가 허용하는 모멘트
부모멘트: 위는 인장, 아래는 압축입니다.
윗면 가장자리: M = 60·4.128 × 10⁷/63.03 = 39.3 kN·m
아랫면 가장자리: M = 90·4.128 × 10⁷/227 = 16.37 kN·m
지배 값
Mallow = min = 16.37 kN·m (아랫면 가장자리)
답
Mallow = 16.37 kN·m
9.모어 원과 응력 변환
답: σy′ = 72.68 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
y′ 면의 변환 공식
σy′ = 80 − (−20)·0.5 − (−20)·(−0.866) = 72.68 MPa
검산
수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.
σx′ = 87.32 MPa, σx′ + σy′ = 160 = σx + σy
답
σy′ = 72.68 MPa
10.모어 원과 응력 변환
답: σn = 43.75 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.
벽의 응력
r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 1.2·250/6 = 50 MPa
σa = pr/(2t) = 25 MPa
이음매 방향으로 변환
x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.
σn = 25·sin²30° + 50·cos²30° = 43.75 MPa
답
σn = 43.75 MPa
11.보의 처짐
답: δB = 5.499 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 25000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
자유단의 처짐
하중 위치의 처짐 더하기 하중 위치의 처짐각 × 나머지 길이.
δP = Pa³/(3EI) = 0.647 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0.001941 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 5.499 mm
답
δB = 5.499 mm
12.보의 처짐
답: δmax = 1.833 mm
보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).
단위 맞추기
N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.
P = 29000 N, w = 4 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
각 하중을 따로
δP = PL³/(48EI) = 29000·3000³/(48·1.12 × 10¹³) = 1.456 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·3000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 0.3767 mm
더하기
δmax = 1.456 + 0.3767 = 1.833 mm
답
δmax = 1.833 mm
13.기둥의 좌굴
답: Pcr = 11.79 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/1250² = 11791 N = 11.79 kN
답
Pcr = 11.79 kN
14.기둥의 좌굴
답: σcr = 8.812 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
KL/r = 1750/6.25 = 280
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8.812 MPa
답
σcr = 8.812 MPa
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