재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중: δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지: δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중: δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중: δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리: δ = δ₁ + δ₂

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 50 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 400 mm이며 강체 판 사이에서 300 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 300 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa, 허용응력 120 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 120 GPa, 허용응력 50 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.축의 비틀림보통

길이 0.8 m인 속이 찬 황동 축이 토크 400 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 0.5°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 400 N·mL = 0.8 mG = 39 GPaφ_allow = 0.5°

d = mm

4.축의 비틀림어려움

지름 60 mm인 속이 찬 황동 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 0.8 m, B에서 1.2 m 떨어진 C에 토크 100 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 T_A을(를) 구하시오.

d = 60 mmT₀ = 100 N·ma = 0.8 mb = 1.2 m

T_A = N·m

5.전단력과 휨 모멘트보통

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

55 kN @ 4 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.전단력과 휨 모멘트어려움

단순보의 경간 일부에 등분포 하중이 작용한다. A에서 휨 모멘트가 가장 큰 단면까지의 거리 x₀을(를) 구하시오.

L = 5 mw = 20 kN/m, 2부터 5 m까지

x₀ = m

7.도심과 단면 2차 모멘트보통

대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 180 mm, 두께 10 mm이고, 전체 높이는 480 mm, 웨브 두께는 10 mm이다. 수평 도심축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

B = 180 mmH = 480 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 15 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ_위의 크기를 구하시오.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmM = 15 kN·m

σ_위 = MPa

9.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 100 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 15° 회전한 면의 전단 응력 τ_θ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σ_x = 40 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.보의 처짐보통

캔틸레버의 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. 자유단의 처짐 δ을(를) 구하시오.

w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (강철)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.보의 처짐어려움

폭 125 mm의 직사각형 단면 목재 단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 처짐은 경간/250을(를) 넘을 수 없다. 단면의 최소 높이 h_req을(를) 구하시오.

w = 1.5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (구조용 목재)b = 125 mm

h_req = mm

13.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 150 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 150 kNn = 3L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: δ = 0.3373 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·3063 = 3.558 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 300000·400/3.558 × 10⁸ = 0.3373 mm

답

δ = 0.3373 mm

2.축 응력과 변형률

답: P_max = 305 kN

넓이

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·4006 = 7.32 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.0006, 0.0004167) = 0.0004167 (구리)

최대 하중

P_max = 0.0004167·7.32 × 10⁸ = 304996 N = 305 kN

답

P_max = 305 kN

3.축의 비틀림

답: d = 55.63 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 0.8 m = 800 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·800/(39000·0.008727) = 940238 mm⁴

지름

d = (32J/π)^1/4 = 55.63 mm

답

d = 55.63 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: T_A = 60 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·1.2/2 = 60 N·m

T_B = 100·0.8/2 = 40 N·m

답

T_A = 60 N·m

5.전단력과 휨 모멘트

답: C (x = 4 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R₁ = 72.67 kN, R₂ = 54.33 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

M_A = 0, M_B = 133.3, M_C = 242.7 kN·m, M_D = 218, M_E = 169.3, M_F = 96.67, M_G = 0

답

표시점 C: M_C = 242.7 kN·m

6.전단력과 휨 모멘트

답: x₀ = 2.9 m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 20·3 = 60 kN, 작용점 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·3·3.5

R_B = 210/5 = 42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 42 = 18 kN

전단력 0

전단력은 R_A에서 시작해 하중이 없는 구간에서는 일정하고, 하중 구간 안에서는 기울기 w로 감소합니다.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 18/20 = 2.9 m

답

x₀ = 2.9 m

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 280 × 10⁶ mm⁴

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = I_c + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다.

바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개

두 빈 부분을 합치면 폭 (B − t_w), 높이 h_w = H − 2t_f이며, 축 x를 공유합니다.

h_w = 480 − 2·10 = 460 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (180·480³ − 170·460³)/12

I_x = 2.8 × 10⁸ mm⁴ = 280 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 280 × 10⁶ mm⁴

8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_위 = 74.42 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

웨브: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·125 + 1920·60)/4320 = 96.11 mm

평행축 정리

플랜지: 240·10³/12 + 2400·(125 − 96.11)² = 2.023 × 10⁶ mm⁴

웨브: 16·120³/12 + 1920·(60 − 96.11)² = 4.808 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.023 × 10⁶ + 4.808 × 10⁶ = 6.831 × 10⁶ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 130 − 96.11 = 33.89 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·33.89/6.831 × 10⁶ = 74.42 MPa

답

σ_위 = 74.42 MPa

9.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = −18.43 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·−60, 100 − −60) = −36.87°

요소에서의 각도

θ_p = −18.43°

답

θ_p = −18.43°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: τ_θ = −32.14 MPa

변환 식

τ_θ = −−5·0.5 + −40·0.866 = −32.14 MPa

답

τ_θ = −32.14 MPa

11.보의 처짐

답: δ = 1.221 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²

처짐

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·2.4 × 10¹³) = 1.221 mm

답

δ = 1.221 mm

12.보의 처짐

답: h_req = 174.6 mm

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 1.5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

처짐 한계

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

필요한 단면 2차 모멘트

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1.5·5000⁴/(384·11000·20) = 5.549 × 10⁷ mm⁴

필요한 높이

bh³/12 = I_req → h = (12·5.549 × 10⁷/125)^1/3 = 174.6 mm

답

h_req = 174.6 mm

실무에서는 이 값보다 큰 다음 표준 높이를 고릅니다.

13.기둥의 좌굴

답: P_cr = 3.57 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·6000 = 6000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/6000² = 3570 N = 3.57 kN

답

P_cr = 3.57 kN

14.기둥의 좌굴

답: d = 104.5 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·150000 = 450000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·450000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 104.5 mm

답

d = 104.5 mm

확인: 세장비 KL/r는 114.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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