재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
P = ?12600 mm300 mmØ40Ø50δ = 0.2 mm

막대가 강철 구간(지름 40 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 300 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.2 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0.2 mm
P = kN
2.축 응력과 변형률어려움
P = ?Ø25100 GPaØ80/60400 mm

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa, 허용응력 250 MPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 100 GPa, 허용응력 80 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.

막대: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 250 MPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
3.축의 비틀림보통
do​ = 50, di​ = 30 mmT = 500 N·mL = 0.8 m

황동 중공축(바깥지름 50 mm, 안지름 30 mm, 길이 0.8 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 500 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 500 N·mdo = 50 mmdi = 30 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 1450 rpm에서 5 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kWN = 1450 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.전단력과 휨 모멘트보통
15 kN/m55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

55 kN @ 2 m15 kN/m, 4–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.전단력과 휨 모멘트어려움
55 kN20 kN30 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.

55 kN @ 0 m20 kN @ 12 m30 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
120180t = 10x치수 단위: mm

ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 120 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 180 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 10 mm이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 120 mmh = 180 mmt = 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
2203016016xM = 30 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 30 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.

bf = 220 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 160 mmM = 30 kN·m
σ아래 = MPa
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 20σy​ = −20MPaτxy​ = ?

한 점에서 σₓ = 20 MPa, σᵧ = −20 MPa이다. 최대 주응력이 75 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σx = 20 MPaσy = −20 MPaσ1 = 75 MPa
τxy = MPa
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​τxy​축의 윗면

지름 25 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 500 N·m와(과) 토크 250 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.

d = 25 mmM = 500 N·mT = 250 N·m
σ1 = MPa
11.보의 처짐보통
w = 8 kN/mδL = 3 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 경간 중앙의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.보의 처짐어려움
w = 5 kN/mAB3 m

일단 고정 타단 지지보는 A에서 고정되고 B에서 단순 지지(받침)되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용한다. EI는 일정하다. 받침의 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 3 mw = 5 kN/m
RB = kN
13.기둥의 좌굴보통
PL = 1 m30 × 80 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 110 kNL = 5 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 110 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 110 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: P = 52.96 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·1963) = 1.389 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.2/3.776 × 10⁻⁶ = 52962 N = 52.96 kN

답

P = 52.96 kN
2.축 응력과 변형률

답: Pmax = 254.5 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 100·10³·2199 = 3.181 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.00125, 0.0008) = 0.0008 (황동)

최대 하중

Pmax = 0.0008·3.181 × 10⁸ = 254469 N = 254.5 kN

답

Pmax = 254.5 kN
3.축의 비틀림

답: φ = 1.1 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

비틀림각

T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 0.8 m = 800 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 500000·800/(39000·534071) = 0.0192 rad
φ = 0.0192·180/π = 1.1°

답

φ = 1.1°
4.축의 비틀림

답: d = 16.12 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 5000/151.8 = 32.93 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·32929/(π·40)) = 16.12 mm

답

d = 16.12 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.전단력과 휨 모멘트

답: D (x = 6 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 85.83 kN, R2 = 89.17 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = 171.7, MC = 233.3, MD = 265 kN·m, ME = 236.7, MF = 148.3, MG = 0

답

표시점 D: MD = 265 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: B (x = 2 m)

가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.

지점 반력

한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.

R1 = 70 kN, R2 = 35 kN

모든 표시점에서의 굽힘 모멘트

절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.

MA = 0, MB = −110 kN·m, MC = −80, MD = −50, ME = −80, MF = −40, MG = 0

답

표시점 B: MB = −110 kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 15.38 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

직사각형으로 나누기

밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.

기제: A1 = 120·10 = 1200 mm², y1 = 5 mm
두 다리: A2 = 2·10·170 = 3400 mm², y2 = 10 + 170/2 = 95 mm

도심

ȳ = (1200·5 + 3400·95)/4600 = 71.52 mm

평행축 정리

기제: 120·10³/12 + 1200·(5 − 71.52)² = 5.32 × 10⁶ mm⁴
두 다리: 2·10·170³/12 + 3400·(95 − 71.52)² = 1.006 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.32 × 10⁶ + 1.006 × 10⁷
Ix = 1.538 × 10⁷ mm⁴ = 15.38 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 15.38 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ아래 = 197 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 220·30 = 6600 mm², yf = 160 + 30/2 = 175 mm
웨브: Aw = 16·160 = 2560 mm², yw = 160/2 = 80 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6600·175 + 2560·80)/9160 = 148.4 mm

평행축 정리

플랜지: 220·30³/12 + 6600·(175 − 148.4)² = 5.147 × 10⁶ mm⁴
웨브: 16·160³/12 + 2560·(80 − 148.4)² = 1.746 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.147 × 10⁶ + 1.746 × 10⁷ = 2.26 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

아래 가장자리는 축에서 ȳ 떨어져 있습니다.

y = 148.4 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·148.4/2.26 × 10⁷ = 197 MPa

답

σ아래 = 197 MPa
9.모어 원과 응력 변환

답: τxy = 72.28 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (20 + (−20))/2 = 0 MPa
R = σ1 − C = 75 − 0 = 75 MPa
στxyCσ1​σ2​

전단 응력

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(75² − 20²) = 72.28 MPa

답

τxy = 72.28 MPa
10.모어 원과 응력 변환

답: σ1 = 345.2 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

표면의 응력

σ = 32M/(πd³) = 32·500000/(π·25³) = 325.9 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa
στxyCσ1​σ2​

모어 원

C = σ/2 = 163 MPa
R = √(163² + 81.49²) = 182.2 MPa
σ1 = C + R = 345.2 MPa
σ2 = C − R = −19.24 MPa

답

σ1 = 345.2 MPa
11.보의 처짐

답: δmax = 33.35 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

처짐

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 33.35 mm

답

δmax = 33.35 mm
12.보의 처짐

답: RB = 5.625 kN

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 부정정보에서는 여분의 지점 하나를 제거하고 그곳의 처짐이 0이 되도록 합니다(적합 조건).

받침 제거

받침이 없으면 보는 캔틸레버입니다. 그 자유단은 하중으로 처지게 됩니다.

δload = wL⁴/(8EI)

받침에서의 적합 조건

받침력 RB만으로 자유단은 RBL³/(3EI)만큼 올라갑니다. 받침이 B의 처짐을 0으로 유지하므로 둘은 상쇄되어야 합니다. EI는 약분됩니다.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·3/8 = 5.625 kN

답

RB = 5.625 kN
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 31.09 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·1000 = 2000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/2000² = 31089 N = 31.09 kN

답

Pcr = 31.09 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 96.06 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 3·110000 = 330000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 96.06 mm

답

d = 96.06 mm

확인: 세장비 KL/r는 208.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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