재료역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 14개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

보의 처짐

경간 중앙 집중 하중
δ = PL³/(48EI)
등분포 하중, 단순 지지
δ = 5wL⁴/(384EI)
캔틸레버, 끝단 하중
δ = PL³/(3EI)
캔틸레버, 등분포 하중
δ = wL⁴/(8EI)
중첩의 원리
δ = δ1 + δ2

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

2연습 문제

1.축 응력과 변형률보통
Ø 25 mm구리0.5 mP = 75 kN

구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 75 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 117 GPa
ε = µε
2.축 응력과 변형률어려움
100 kN12400 mm200 mmØ25Ø40σ2​ = ?

강철 구간(지름 25 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 200 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 100 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.축의 비틀림보통
d = ?T = 1000 N·mL = 1.2 m

길이 1.2 m인 속이 찬 황동 축이 토크 1000 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 2°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 1000 N·mL = 1.2 mG = 39 GPaφallow = 2°
d = mm
4.축의 비틀림어려움
d = 40 mmT0​ = 750 N·mACBa = 0.5 mb = 2 m

지름 40 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 0.5 m, B에서 2 m 떨어진 C에 토크 750 N·m이(가) 가해진다. 단면 C의 회전각 φC을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 40 mmT0 = 750 N·ma = 0.5 mb = 2 mG = 26 GPa
φC = °
5.전단력과 휨 모멘트보통
w = 2 kN/mAB단면0.5 m4.5 m

지점 A에서 x = 0.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 5 mw = 2 kN/m, 0부터 5 m까지x = 0.5 m
Mx = kN·m
6.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 6 kN/mP = 50 kNAB2 m6 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 8 mP = 50 kN 위치 2 mw = 6 kN/m, 0부터 8 m까지
Mmax = kN·m
7.도심과 단면 2차 모멘트보통
100 mm300 mm90 mmØ50xIx​ = ?

100 mm × 300 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 50 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 90 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mm구멍 중심: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트어려움
130270202001014x치수 단위: mm

용접 I형 단면의 상부 플랜지는 130 × 20 mm, 웨브는 높이 200 mm, 두께 14 mm, 하부 플랜지는 270 × 10 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.

상부 플랜지: 130 × 20 mm웨브: 14 × 200 mm하부 플랜지: 270 × 10 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 40σy​ = −60τxy​ = 10MPa

한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σx = 40 MPaσy = −60 MPaτxy = 10 MPa
θs = °
10.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 90σy​ = 60τxy​ = 40MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 90 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 25° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = 90 MPaσy = 60 MPaτxy = 40 MPaθ = 25°
σθ = MPa
11.보의 처짐보통
w = 20 kN/mABθ2 m

단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 A에서 보의 처짐각 θA을(를) 라디안으로 구하시오.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (구조용 목재)I = 120 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.보의 처짐어려움
P = 15 kNABδ5 m3 m

단순보의 지점 B에서 b = 3 m인 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 보의 최대 처짐 δmax을(를) 구하시오.

P = 15 kNb = 3 mL = 8 mE = 70 GPa (알루미늄)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.기둥의 좌굴보통
PL = 2 md = 50 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 50 mm
Pcr = kN
14.기둥의 좌굴어려움
P = 30 kNL = 5 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 30 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm

3용액

1.축 응력과 변형률

답: ε = 1306 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 75·1000/490.9 = 152.8 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 152.8/117000 = 0.001306 = 1306 µε

답

ε = 1306 µε
2.축 응력과 변형률

답: σ2 = 57.22 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 100000·1257/200 = 628319 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 100000·628319/873755 = 71910 N

응력

σ2 = 71910/1257 = 57.22 MPa (압축)

답

σ2 = 57.22 MPa
3.축의 비틀림

답: d = 54.74 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = 2·π/180 = 0.03491 rad
J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1200/(39000·0.03491) = 881474 mm⁴

지름

d = (32J/π)1/4 = 54.74 mm

답

d = 54.74 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: φC = 2.63 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·2/2.5 = 600 N·m
TB = 750·0.5/2.5 = 150 N·m

C의 회전각

구간 AC를 쓰세요. A에서 고정되어 있고 TA를 받습니다.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 600000·500/(26000·251327) = 0.04591 rad = 2.63°

답

φC = 2.63°
5.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 2.25 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 2·5·2.5
RB = 25/5 = 5 kN
ΣFy = 0: RA = 10 − 5 = 5 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 5RB​ = 5단면0.5 m4.5 m

x = 0.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기

절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.

M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 5·0.5 − 2·0.5·0.25 = 2.25 kN·m

답

Mx = 2.25 kN·m
6.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 111 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·2 + 6·8·4
RB = 292/8 = 36.5 kN
ΣFy = 0: RA = 98 − 36.5 = 61.5 kN

V = 0인 곳은?

V(2⁻) = RA − w·2 = 49.5 kN
V(2⁺) = 49.5 − 50 = −0.5 kN
전단력이 하중 위치에서 부호가 바뀌므로 최댓값은 하중 아래에 있습니다.

최대 모멘트

Mmax = RA·2 − w·2²/2 = 61.5·2 − 6·2²/2 = 111 kN·m

답

Mmax = 111 kN·m

A에서 x = 2 m인 곳에서 생깁니다.

7.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 217.1 × 10⁶ mm⁴

구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.

도심

ȳ = (30000·150 − 1963·90)/(30000 − 1963) = 154.2 mm

ȳ에 대한 전체 판

100·300³/12 + 30000·−4.202² = 225.5 × 10⁶ mm⁴

ȳ에 대한 구멍

π·50⁴/64 + 1963·−64.2² = 8.4 × 10⁶ mm⁴

빼기

Ix = 217.1 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 217.1 × 10⁶ mm⁴
8.도심과 단면 2차 모멘트

답: Ix = 70.67 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

세 개의 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

상부 플랜지: A = 2600 mm², y = 220 mm
웨브: A = 2800 mm², y = 110 mm
하부 플랜지: A = 2700 mm², y = 5 mm

도심

ȳ = (2600·220 + 2800·110 + 2700·5)/8100 = 110.3 mm

평행축 정리

상부 플랜지: 130·20³/12 + 2600·109.7² = 3.137 × 10⁷ mm⁴
웨브: 14·200³/12 + 2800·0.3086² = 9.334 × 10⁶ mm⁴
하부 플랜지: 270·10³/12 + 2700·105.3² = 2.997 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3.137 × 10⁷ + 9.334 × 10⁶ + 2.997 × 10⁷
Ix = 7.067 × 10⁷ mm⁴ = 70.67 × 10⁶ mm⁴

답

Ix = 70.67 × 10⁶ mm⁴
9.모어 원과 응력 변환

답: θs = −39.35 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θs = 10/50.99 = 0.1961, sin 2θs = −50/50.99 = −0.9806
2θs = atan2(−50, 10) = −78.69°

요소에서의 각도

θs = −39.35°
검산: θs − θp = −39.35 − 5.655 = −45°

답

θs = −39.35°

반시계 방향 각도가 양입니다.

10.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 115.3 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 75 + 15·0.6428 + 40·0.766 = 115.3 MPa

답

σθ = 115.3 MPa
11.보의 처짐

답: θA = 0.005051 rad

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩). 처짐각 θ = dv/dx는 M/(EI)를 한 번 적분한 것이며, 단위를 일관되게 쓰면 라디안으로 나옵니다.

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

끝 처짐각

θA = wL³/(24EI) = 20·2000³/(24·1.32 × 10¹²) = 0.005051 rad

답

θA = 0.005051 rad

0.2894°입니다.

12.보의 처짐

답: δmax = 58.41 mm

보의 처짐: 처짐은 곡률 M/(EI)를 두 번 적분해 얻습니다. 대표적인 경우는 표로 정리되어 있습니다. 예를 들어 끝에 집중 하중을 받는 캔틸레버는 PL³/(3EI), 전체 경간에 등분포 하중을 받는 단순보는 5wL⁴/(384EI)입니다. 각 하중에 의한 처짐은 더할 수 있습니다(중첩).

단위 맞추기

N과 mm로 계산합니다: P는 N, w는 N/mm (kN/m = N/mm), L은 mm, E는 N/mm² (GPa × 1000), I는 mm⁴.

P = 15000 N, b = 3000 mm, L = 8000 mm
EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

최댓값의 위치

더 긴 구간에서 처짐각을 0으로 두면 위치가 나옵니다.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3000²)/3) = 4282 mm

최대 처짐

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 58.41 mm

답

δmax = 58.41 mm
13.기둥의 좌굴

답: Pcr = 13.25 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·2000 = 4000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/4000² = 13247 N = 13.25 kN

답

Pcr = 13.25 kN
14.기둥의 좌굴

답: d = 90.25 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 3·30000 = 90000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 90.25 mm

답

d = 90.25 mm

확인: 세장비 KL/r는 221.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

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