수치해석: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

수치해석

이분법: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
뉴턴–랩슨법: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
선형 보간: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
사다리꼴 공식: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
심프슨 공식(n은 짝수): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
사다리꼴 공식의 오차 한계: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
오일러: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
호인법: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

방법

근은 이분법이면 부호 변화를 확인하고, 뉴턴법이면 f와 f′를 계산하며, 반복값의 표에는 여섯 자리 이상을 유지하세요.
표의 값은 이웃한 두 점 사이를 선형으로 보간하세요.
적분은 h = (b − a)/n을 구하고, 모든 절점에서 f를 나열하고, 가중치(사다리꼴은 1, 2, …, 2, 1이고 짝수 n의 심프슨은 1, 4, 2, …, 4, 1)를 적용한 다음 h/2 또는 h/3을 곱하세요.
미분방정식은 t₀에서 yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)(오일러) 또는 평균 기울기(호인)로 단계마다 한 줄씩, 요구된 t에 도달할 때까지 진행하세요.

수열과 급수

등차수열: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
등비수열: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
무한 등비급수: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-급수: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
비율 판정법: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
수렴 반지름: R = lim |c_k/c_k+1|
테일러 다항식: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
매클로린 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
라그랑주 오차 한계: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

방법

종류를 파악하세요: 등차(일정한 차), 등비(일정한 비), 표준 급수, 멱급수, 테일러 다항식.
합에는 Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), 또는 |r| < 1일 때 S = a₁/(1 − r)을 쓰세요. a₁은 합의 첫째 항입니다.
수렴은 먼저 n번째 항 판정법을 쓰고, 그다음 Σ1/kᵖ이나 등비급수와 비교하며, 팩토리얼과 k제곱에는 비율 판정법이나 근 판정법을 쓰세요.
테일러 다항식은 f(a), f′(a), f″(a), …를 나열하고, k계 도함수를 k!로 나누며, 오차는 M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!로 한정하세요.

행렬과 행렬식

2×2 행렬식: det = ad − bc
2×2 역행렬: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
제품: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
고윳값: det(A − λI) = 0
크라메르 공식: x_i = det(A_i)/det(A)

미분방정식

지수적 성장/감소: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
반감기: k = ln 2 / t_½
뉴턴의 냉각 법칙: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
적분 인자: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
혼합 탱크: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2연습 문제

1.수치해석보통

사다리꼴 공식 n = 4으로 ∫₀² x³ dx를 근사하고 정확한 값과 비교하시오. 절대 오차 |E| = |T − I|를 구하시오.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]n = 4

|E| =

2.수치해석어려움

y′ = y − t², y(0) = 3에 대해 h = 0.5으로 오일러법을 써서 y₅ ≈ y(2.5)를 추정하시오.

y′ = y − t²y(0) = 3h = 0.5

y₅ =

3.수열과 급수보통

Σ_k=1^∞ kᵏ/(5ᵏ·k!)에 비율 판정법을 적용하시오. L = lim |a_k+1/a_k|를 구하시오.

a_k = kᵏ/(5ᵏ·k!)

L =

4.수열과 급수어려움

f(x) = cos x의 4차 매클로린 다항식으로 f(2)을(를) 근사하시오. P₄(2)을(를) 구하시오.

f(x) = cos xn = 4x = 2

P₄(2) =

5.행렬과 행렬식보통

주어진 3×3 행렬 A의 행렬식 det A를 구하세요.

A = [−5 −2 2; −2 2 −4; −5 −4 2]

det A =

6.행렬과 행렬식어려움

주어진 행렬 A의 더 큰 고윳값 λ를 구하세요.

A = [3 −1; −1 3]

λ =

7.미분방정식보통

81 °C의 커피 한 잔을 23 °C인 방에 둡니다. 이것은 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)를 따릅니다. k = 0.12 min⁻¹일 때 13분 후의 온도 T을(를) 구하세요.

T₀ = 81 °CT_a = 23 °Ck = 0.12 min⁻¹t = 13 min

T = °C

8.미분방정식어려움

x > 0에서 초기값 문제 y′ + 2y/x = 3x, y(1) = 3를 푸세요. y(2)을(를) 구하세요.

y′ + 2y/x = 3xy(1) = 3

y(2) =

3용액

1.수치해석

답: |E| = 0.25

수치 적분: [a, b]를 폭 h = (b − a)/n인 n개의 띠로 나누고 절점을 x₀ … xₙ이라 합니다. 사다리꼴 공식: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. 심프슨 공식(n은 짝수): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. 사다리꼴 공식의 오차는 h²처럼 줄어들고(한계 (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), 심프슨 공식의 오차는 h⁴처럼 줄어듭니다. 따라서 같은 절점이라면 심프슨 공식이 대개 훨씬 더 정확합니다.

정확한 값

I = 4

사다리꼴 공식

T = (0.5/2)·(0 + 2·0.125 + 2·1 + 2·3.375 + 8) = 4.25

오차

|E| = |4.25 − 4| = 0.25

답

|E| = 0.25

상대 오차: 6.25%.

2.수치해석

답: y₅ = 17.55

y′ = f(t, y)의 수치 해법: 오일러법은 각 단계의 시작점에서의 기울기를 따라 나아갑니다: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). 호인법(개선된 오일러법)은 시작점의 기울기와 오일러 예측점의 기울기를 평균합니다: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). 고전적 룽게–쿠타법(RK4)은 네 기울기를 결합합니다: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). 전역 오차는 오일러법이 h에, 호인법이 h²에, RK4가 h⁴에 비례합니다.

오일러 단계

y₁ = 3 + 0.5·(3) = 4.5

y₂ = 4.5 + 0.5·(4.25) = 6.625

y₃ = 6.625 + 0.5·(5.625) = 9.4375

y₄ = 9.4375 + 0.5·(7.1875) = 13.03125

y₅ = 13.03125 + 0.5·(9.03125) = 17.546875

그래프

y₅ = 17.55

답

y₅ = 17.55

정확한 값은 y(2.5) = 25.432494입니다.

3.수열과 급수

답: L = 0.5437

연속한 항의 비

|a_k+1/a_k| = (1 + 1/k)ᵏ/5 → e/5

결론

L = 0.5437 < 1

답

L = 0.5437

L < 1이므로 급수는 수렴합니다.

4.수열과 급수

답: P₄(2) = −0.3333

테일러 다항식: x = a 근처에서 매끄러운 함수는 Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!으로 근사되며, a = 0이면 매클로린 다항식입니다. 표준 급수: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. 라그랑주 오차 한계: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!이며, M은 a와 x 사이에서 |f⁽ⁿ⁺¹⁾|의 최댓값입니다.

매클로린 다항식

P₄(x) = 1 − 0.5x² + 0.04167x⁴

대입하기

P₄(2) = 1 − 2 + 0.666667 = −0.3333

답

P₄(2) = −0.3333

정확한 값은 f(2) = −0.416147입니다. 항을 더 많이 쓰거나 0에 더 가까운 점을 택하면 오차 −0.0828135이(가) 줄어듭니다.

5.행렬과 행렬식

답: det A = 48

행렬: 2×2 행렬의 행렬식은 ad − bc입니다. 3×3은 한 행을 따라 전개합니다: 각 성분에 그 행과 열을 지우고 남은 2×2 행렬의 행렬식을 곱하고, 부호는 + − +로 번갈아 붙입니다. 고윳값 λ는 det(A − λI) = 0을 만족하며, 2×2에서는 λ² − (대각합)·λ + det = 0입니다.

첫째 행의 2×2 소행렬식

M₁₁ = −12, M₁₂ = −24, M₁₃ = 18

여인수 전개

det A = (−5)·(−12) − (−2)·(−24) + 2·18 = 48

답

det A = 48

6.행렬과 행렬식

답: λ = 4

특성방정식

λ² − (6)λ + (8) = 0

풀기

λ = (6 ± √(4))/2 → λ = 2, 4

λ = 4

답

λ = 4

7.미분방정식

답: T = 35.19 °C

1계 미분방정식: dy/dt = k·y의 해는 y = y₀·e^kt입니다(k > 0이면 성장, k < 0이면 감소). 반감기가 T이면 k = ln 2/T입니다. 뉴턴의 냉각 법칙 dT/dt = −k·(T − Tₐ)의 해는 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt입니다. 선형 방정식 y′ + p(x)·y = q(x)는 적분 인자 μ = e^{∫p dx}로 풉니다: (μy)′ = μq이므로 μy = ∫μq dx + C.

냉각 법칙의 해

T(t) = 23 + 58·e^−0.12t

t 대입

T(13) = 23 + 58·0.2101 = 35.19 °C

답

T = 35.19 °C

8.미분방정식

답: y(2) = 3.563

적분 인자

μ = e^{∫2/x dx} = x²

적분하기

(x²y)′ = 3x³ → x²y = 3x⁴/4 + C

초기 조건

3 = 3/4 + C → C = 2.25

계산하기

y(2) = (3·2⁴/4 + 2.25)/2² = 3.563

답

y(2) = 3.563

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