물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+10 µC인 전하와 +8 µC인 전하가 40 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 24 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q₁ = +10 µCq₂ = +8 µCr₁ = 24 cmr₂ = 16 cm

E = N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 6 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 1 µC는 한 변을 따라 q₃에서 4 cm, q₂ = 10 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 6 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q₁ = 1 µCq₂ = 10 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.저항의 직렬·병렬보통

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 90%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

V_s = 5 VR = 33 ΩL = 220 mH

t = ms

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 8 V이다. t = 500 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 5 VR = 6.8 kΩC = 100 µFv_C(0) = 8 Vt = 500 ms

v_C = V

7.자기장과 유도보통

전류 종이 위쪽이(가) 흐르는 도선이 종이 밖으로을(를) 향하는 균일한 자기장 속에 있다. 도선에 작용하는 자기력의 방향을 클릭하세요.

I: 종이 위쪽B: 종이 밖으로

1종이 위쪽
2오른쪽
3종이 아래쪽
4왼쪽

8.자기장과 유도어려움

알파 입자이(가) 정지 상태에서 출발해 10000 V의 전위차로 가속된 뒤 세기 0.8 T의 균일한 자기장에 직각으로 들어간다. 자기장 속에서 경로의 반지름 r을(를) 구하시오.

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0.8 T

r = cm

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 24 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF

I = A

10.교류 임피던스와 페이저어려움

저항 R₁이(가) R₂와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 230 V(실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 60 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 1.249 × 10⁶ N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0.24² = 1.561 × 10⁶ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0.16² = 2.809 × 10⁶ N/C

방향과 합

두 전하가 모두 양전하입니다: P에서 각 전기장은 자기 전하에서 멀어지는 방향, 즉 서로 반대 방향을 향합니다.

E = |1.561 × 10⁶ − 2.809 × 10⁶| = 1.249 × 10⁶ N/C

답

E = 1.249 × 10⁶ N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 153.6 N

q₃에 작용하는 각 힘

F₁ = k·1·6 × 10⁻¹²/0.04² = 33.71 N

F₂ = k·10·6 × 10⁻¹²/0.06² = 149.8 N

벡터 합

F = √(33.71² + 149.8²) = 153.6 N

답

F = 153.6 N

3.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 10.2 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 8 + 6 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 6·14/(6+14) = 4.2 Ω

R_eq = R₁ + 4.2 = 6 + 4.2 = 10.2 Ω

답

R_eq = 10.2 Ω

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.7073 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 6 + 2 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 4.444 Ω

R₃ + 4.444 = 6.444 Ω

R₂ ∥ 6.444 = 3.569 Ω

R_eq = R₁ + 3.569 = 4 + 3.569 = 7.569 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/7.569 = 1.585 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1.585·4 = 5.659 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5.659/8 = 0.7073 A

답

I_R2 = 0.7073 A

5.RC·RL 과도 현상

답: t = 15.35 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6.667 ms

i(∞) = V_s/R = 5/33 = 0.1515 A

시간에 대해 풀기

0.9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)

t = −6.667·ln(0.1) = 15.35 ms

답

t = 15.35 ms

6.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 6.438 V

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 100 µF = 680 ms

v_C(t) = 5 + (8 − 5)·e^−t/τ

주어진 시각의 전압

v_C(500) = 5 + (3)·e^−500/680 = 6.438 V

답

v_C = 6.438 V

7.자기장과 유도

답: 오른쪽

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

오른손 법칙

손가락을 전류나 속도 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리세요. 엄지가 양전하에 작용하는 힘의 방향입니다.

I: 종이 위쪽, B: 종이 밖으로

힘의 방향

오른쪽

답

F: 오른쪽

8.자기장과 유도

답: r = 2.546 cm

가속 뒤의 속력

v = √(2|q|V/m) = √(2·3.204 × 10⁻¹⁹·10000/(6.645 × 10⁻²⁷)) = 982005 m/s

자기장 속의 반지름

r = mv/(|q|B) = 0.02546 m = 2.546 cm

답

r = 2.546 cm

합치면 r = √(2mV/|q|)/B이므로 전하가 같으면 더 무거운 이온이 더 큰 원을 그립니다. 이렇게 동위원소를 분리합니다.

9.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.2502 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.02 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2.2·10⁻⁶) = 144.7 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−81.85)²) = 95.92 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 24/95.92 = 0.2502 A

답

I = 0.2502 A

10.교류 임피던스와 페이저

답: |Z| = 57.01 Ω

리액턴스

X_C = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67.73 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Z_p를 실수부와 허수부로 나누세요.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 33.62 − j29.78 Ω

전체 임피던스

Z = 15 + 33.62 − j29.78 = 48.62 − j29.78 Ω

|Z| = √(48.62² + 29.78²) = 57.01 Ω

답

|Z| = 57.01 Ω

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