쿨롱 법칙과 전기장
- 쿨롱 법칙
- F = k·|q1q2|/r²
- 점전하의 전기장
- E = k·|q|/r²
- 상수
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 전하가 받는 힘
- F = q·E
물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
저항의 직렬·병렬
- 저항의 직렬 연결
- Req = R1 + R2 + …
- 저항의 병렬 연결
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 두 저항의 병렬
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 옴의 법칙
- V = I·R
- 전력
- P = V·I = I²R = V²/R
방법
- 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
- 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
- 단계마다 회로를 다시 그리세요.
- 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.
RC·RL 과도 현상
- 시정수
- τ = RC | τ = L/R
- 응답
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 직류에서의 커패시터
- 개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
- 직류에서의 인덕터
- 단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
- 정상 상태 값
- t ≈ 5τ
방법
- 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
- 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
- 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
자기장과 유도
- 긴 직선 도선
- B = μ0I/(2πr)
- 평평한 코일의 중심
- B = μ0NI/(2R)
- 긴 솔레노이드
- B = μ0nI, n = N/L
- 상수
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 도선에 작용하는 힘
- F = BIL·sin θ
- 전하가 받는 힘
- F = |q|vB·sin θ
- 원운동
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 평행한 도선
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 선속
- Φ = BA·cos θ
- 패러데이 법칙
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 움직이는 막대
- ε = BLv
- 발전기
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 인덕턴스
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 상호 인덕턴스
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 속도 선택기와 질량 분석기
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
방법
- 모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
- 올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
- 유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
- 방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
2연습 문제
1.쿨롱 법칙과 전기장보통
+3 µC인 전하와 −10 µC인 전하가 50 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 12.5 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.
q1 = +3 µCq2 = −10 µCr1 = 12.5 cmr2 = 37.5 cm
E = N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장어려움
전자가 평행한 두 판 사이의 균일한 전기장에 판과 평행하게 2 × 10⁷ m/s로 들어간다. 판의 길이는 5 cm이고 판 사이의 전기장은 1600 N/C이다. 전자의 전하는 1.602 × 10⁻¹⁹ C, 질량은 9.109 × 10⁻³¹ kg이며 중력은 무시한다. 판을 벗어날 때 옆으로 얼마나 y 휘어지는가? mm로 답하시오.
v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 1600 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.저항의 직렬·병렬보통
전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.
V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 12 ΩR4 = 20 Ω
Req = Ω
4.저항의 직렬·병렬어려움
R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.
V1 = 12 VR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 25 ΩR4 = 20 ΩR5 = 10 ΩR6 = 10 Ω
IR2 = A
5.RC·RL 과도 현상보통
t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 50%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.
Vs = 24 VR = 33 ΩL = 33 mH
t = ms
6.RC·RL 과도 현상어려움
타이머가 t = 0에 5 V 전원에서 저항을 통해 충전되지 않은 커패시터를 충전하기 시작한다. 타이머는 시작 후 정확히 100 ms에 커패시터 전압이 2.5 V에 도달할 때 작동해야 한다. C = 22 µF일 때 필요한 저항 R을(를) 구하시오.
Vs = 5 VVth = 2.5 VT = 100 msC = 22 µF
R = kΩ
7.자기장과 유도보통
전류 종이 아래쪽이(가) 흐르는 도선이 종이 속으로을(를) 향하는 균일한 자기장 속에 있다. 도선에 작용하는 자기력의 방향을 클릭하세요.
I: 종이 아래쪽B: 종이 속으로
- 1종이 위쪽
- 2오른쪽
- 3종이 아래쪽
- 4왼쪽
8.자기장과 유도어려움
속도 선택기에서 서로 수직인 장 E = 1 × 10⁴ V/m와 B = 0.25 T는 한 속력의 이온만 직진하게 한다. 그 속력 v을(를) 구하시오.
E = 1 × 10⁴ V/mB1 = 0.25 T
v = m/s
9.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 230 V (실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.
V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 100 µF
I = A
10.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 커패시터 양단 실효 전압 VC을(를) 구하시오.
V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 2.2 µF
VC = V
3용액
1.쿨롱 법칙과 전기장
답: E = 2.365 × 10⁶ N/C
쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.
각 전하의 전기장
E1 = k·3 × 10⁻⁶/0.125² = 1.726 × 10⁶ N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0.375² = 639289 N/C
방향과 합
첫 번째 전기장은 양전하에서 멀어지는 방향, 두 번째 전기장은 음전하 쪽을 향하므로 두 전기장의 방향이 같습니다.
E = |1.726 × 10⁶ + 639289| = 2.365 × 10⁶ N/C
답
E = 2.365 × 10⁶ N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장
답: y = 0.8794 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
판 사이를 지나는 시간
t = L/v₀ = 0.05/2 × 10⁷ = 2.5 × 10⁻⁹ s
옆 방향 가속도
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·1600/9.109 × 10⁻³¹ = 2.814 × 10¹⁴ m/s²
처짐
y = ½·a·t² = ½·2.814 × 10¹⁴·(2.5 × 10⁻⁹)² = 0.0008794 m = 0.8794 mm
답
y = 0.8794 mm
전자는 전기장 방향과 반대로, 양극판 쪽으로 밀립니다.
3.저항의 직렬·병렬
답: Req = 4.743 Ω
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R3 + R4 = 12 + 20 = 32 Ω
R2 ∥ 32 = 3·32/(3+32) = 2.743 Ω
Req = R1 + 2.743 = 2 + 2.743 = 4.743 Ω
답
Req = 4.743 Ω
4.저항의 직렬·병렬
답: IR2 = 2.32 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R5 + R6 = 10 + 10 = 20 Ω
R4 ∥ 20 = 10 Ω
R3 + 10 = 35 Ω
R2 ∥ 35 = 1.892 Ω
Req = R1 + 1.892 = 3 + 1.892 = 4.892 Ω
전원 전류
전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1/Req = 12/4.892 = 2.453 A
R₂에 흐르는 전류
R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 2.453·3 = 4.641 V
IR2 = VA/R2 = 4.641/2 = 2.32 A
답
IR2 = 2.32 A
5.RC·RL 과도 현상
답: t = 0.6931 ms
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
시정수와 최종 전류
스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.
τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms
i(∞) = Vs/R = 24/33 = 0.7273 A
시간에 대해 풀기
0.5 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)
t = −1·ln(0.5) = 0.6931 ms
답
t = 0.6931 ms
6.RC·RL 과도 현상
답: R = 6.558 kΩ
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
필요한 시정수
2.5 = 5·(1 − e−100/τ) → τ = 100/ln(5/(5 − 2.5))
τ = 100/0.6931 = 144.3 ms
저항
kΩ × µF는 밀리초입니다.
R = τ/C = 144.3/22 = 6.558 kΩ
답
R = 6.558 kΩ
7.자기장과 유도
답: 오른쪽
자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
오른손 법칙
손가락을 전류나 속도 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리세요. 엄지가 양전하에 작용하는 힘의 방향입니다.
I: 종이 아래쪽, B: 종이 속으로
힘의 방향
오른쪽
답
F: 오른쪽
8.자기장과 유도
답: v = 40000 m/s
자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
선택된 속력
휘지 않음: 전기력 qE가 자기력 qvB와 균형을 이룹니다.
v = E/B1 = 1 × 10⁴/0.25 = 40000 m/s
답
v = 40000 m/s
9.교류 임피던스와 페이저
답: I = 2.203 A
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.15 = 56.55 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω
임피던스
직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (30.02)²) = 104.4 Ω
전류
직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.
I = V/|Z| = 230/104.4 = 2.203 A
답
I = 2.203 A
10.교류 임피던스와 페이저
답: VC = 53.2 V
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0.2 = 75.4 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(377·2.2·10⁻⁶) = 1206 Ω
임피던스
직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−1130)²) = 1133 Ω
전류
직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.
I = V/|Z| = 50/1133 = 0.04412 A
커패시터 전압
VC = I·XC = 0.04412·1206 = 53.2 V
답
VC = 53.2 V
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