쿨롱 법칙과 전기장
- 쿨롱 법칙
- F = k·|q1q2|/r²
- 점전하의 전기장
- E = k·|q|/r²
- 상수
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 전하가 받는 힘
- F = q·E
물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
저항의 직렬·병렬
- 저항의 직렬 연결
- Req = R1 + R2 + …
- 저항의 병렬 연결
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 두 저항의 병렬
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 옴의 법칙
- V = I·R
- 전력
- P = V·I = I²R = V²/R
방법
- 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
- 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
- 단계마다 회로를 다시 그리세요.
- 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.
RC·RL 과도 현상
- 시정수
- τ = RC | τ = L/R
- 응답
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 직류에서의 커패시터
- 개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
- 직류에서의 인덕터
- 단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
- 정상 상태 값
- t ≈ 5τ
방법
- 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
- 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
- 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
자기장과 유도
- 긴 직선 도선
- B = μ0I/(2πr)
- 평평한 코일의 중심
- B = μ0NI/(2R)
- 긴 솔레노이드
- B = μ0nI, n = N/L
- 상수
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 도선에 작용하는 힘
- F = BIL·sin θ
- 전하가 받는 힘
- F = |q|vB·sin θ
- 원운동
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 평행한 도선
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 선속
- Φ = BA·cos θ
- 패러데이 법칙
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 움직이는 막대
- ε = BLv
- 발전기
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 인덕턴스
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 상호 인덕턴스
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 속도 선택기와 질량 분석기
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
방법
- 모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
- 올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
- 유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
- 방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
2연습 문제
1.쿨롱 법칙과 전기장보통
+2 µC인 전하와 +10 µC인 전하가 30 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 7.5 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.
q1 = +2 µCq2 = +10 µCr1 = 7.5 cmr2 = 22.5 cm
E = N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장어려움
세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 3 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 3 µC는 한 변을 따라 q₃에서 3 cm, q₂ = 5 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 5 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.
q1 = 3 µCq2 = 5 µCq3 = 3 µCr13 = 3 cmr23 = 5 cm
F = N
3.저항의 직렬·병렬보통
전원 V1이(가) 보는 합성 저항 Req을(를) 구하시오.
V1 = 18 VR1 = 5 ΩR2 = 8 ΩR3 = 4 ΩR4 = 10 Ω
Req = Ω
4.저항의 직렬·병렬어려움
전원이 공급하며 R1에 흐르는 전류 IR1을(를) 구하시오.
V1 = 24 VR1 = 30 ΩR2 = 12 ΩR3 = 3 ΩR4 = 5 ΩR5 = 4 ΩR6 = 4 Ω
IR1 = A
5.RC·RL 과도 현상보통
t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 2 ms에서 인덕터 전압 vL을(를) 구하시오.
Vs = 10 VR = 100 ΩL = 150 mHt = 2 ms
vL = V
6.RC·RL 과도 현상어려움
스위치가 오랫동안 닫혀 있었으므로 회로는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 열린다. t = 60 ms에서 커패시터 전압 vC을(를) 구하시오.
Vs = 20 VR1 = 6.8 kΩR2 = 3.3 kΩC = 10 µFt = 60 ms
vC = V
7.자기장과 유도보통
길이 20 cm인 금속 막대가 종이 속으로 향하는 세기 0.6 T의 균일한 자기장 속에서 두 레일을 따라 2.5 m/s로 미끄러진다. 레일은 2.5 Ω 저항으로 연결되어 있고 막대와 레일의 저항은 무시한다. 저항에서 소비되는 전력 P을(를) 구하시오.
B = 0.6 TL = 20 cmv = 2.5 m/sR = 2.5 Ω
P = mW
8.자기장과 유도어려움
감은 수 500, 15 cm × 20 cm인 코일이 자기장에 수직인 축을 중심으로 세기 0.1 T의 균일한 자기장 속에서 900 rpm으로 회전한다. 기전력의 실횻값 Erms을(를) 구하시오.
N = 500A = 15 cm × 20 cmB = 0.1 Tn = 900 rpm
Erms = V
9.교류 임피던스와 페이저보통
저항과 인덕터가 12 V(실효값), 200 Hz 전원에 병렬로 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).
V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 100 mH
φ = °
10.교류 임피던스와 페이저어려움
저항 R1이(가) R2와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 12 V(실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.
V = 12 V (rms)f = 50 HzR1 = 30 ΩR2 = 50 ΩC = 100 µF
I = A
3용액
1.쿨롱 법칙과 전기장
답: E = 1.421 × 10⁶ N/C
쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.
각 전하의 전기장
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0.075² = 3.196 × 10⁶ N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0.225² = 1.776 × 10⁶ N/C
방향과 합
두 전하가 모두 양전하입니다: P에서 각 전기장은 자기 전하에서 멀어지는 방향, 즉 서로 반대 방향을 향합니다.
E = |3.196 × 10⁶ − 1.776 × 10⁶| = 1.421 × 10⁶ N/C
답
E = 1.421 × 10⁶ N/C
2.쿨롱 법칙과 전기장
답: F = 104.8 N
쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.
q₃에 작용하는 각 힘
F1 = k·3·3 × 10⁻¹²/0.03² = 89.9 N
F2 = k·5·3 × 10⁻¹²/0.05² = 53.94 N
벡터 합
F = √(89.9² + 53.94²) = 104.8 N
답
F = 104.8 N
3.저항의 직렬·병렬
답: Req = 10.09 Ω
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R3 + R4 = 4 + 10 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 8·14/(8+14) = 5.091 Ω
Req = R1 + 5.091 = 5 + 5.091 = 10.09 Ω
답
Req = 10.09 Ω
4.저항의 직렬·병렬
답: IR1 = 0.7052 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R5 + R6 = 4 + 4 = 8 Ω
R4 ∥ 8 = 3.077 Ω
R3 + 3.077 = 6.077 Ω
R2 ∥ 6.077 = 4.034 Ω
Req = R1 + 4.034 = 30 + 4.034 = 34.03 Ω
전원 전류
전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1/Req = 24/34.03 = 0.7052 A
답
IR1 = 0.7052 A
5.RC·RL 과도 현상
답: vL = 2.636 V
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
시정수와 최종 전류
스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.
τ = L/R = 150 mH / 100 Ω = 1.5 ms
i(∞) = Vs/R = 10/100 = 0.1 A
인덕터 전압
t = 0에서는 전원 전압 전체가 인덕터에 걸리고, 이후 0으로 감소합니다.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 10·e−2/1.5 = 2.636 V
답
vL = 2.636 V
6.RC·RL 과도 현상
답: vC = 1.061 V
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
초기 커패시터 전압
정상 상태에서 커패시터는 개방 회로이므로 R₁과 R₂가 전압 분배기를 이룹니다. 스위치가 열릴 때 커패시터 전압은 급변할 수 없습니다.
vC(0) = 20·3.3/(6.8 + 3.3) = 6.535 V
스위치가 열린 뒤의 시정수
τ = R2·C = 3.3·10 = 33 ms
방전
vC(t) = 6.535·e−60/33 = 1.061 V
답
vC = 1.061 V
7.자기장과 유도
답: P = 36 mW
전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.
운동 기전력
ε = BLv = 0.6·0.2·2.5 = 0.3 V
전류
I = ε/R = 0.3/2.5 = 0.12 A
전력
P = εI = 0.3·0.12 = 0.036 W
답
P = 36 mW
8.자기장과 유도
답: Erms = 99.96 V
전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.
각속도와 넓이
ω = 2π·900/60 = 94.25 rad/s
A = 0.03 m²
최대 기전력
E₀ = NBAω = 500·0.1·0.03·94.25 = 141.4 V
실횻값
Erms = 141.4/√2 = 99.96 V
답
Erms = 99.96 V
9.교류 임피던스와 페이저
답: φ = 21.7 °
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
XL = ωL = 2π·200·0.1 = 125.7 Ω
가지 전류
두 가지 모두 전원에 바로 연결되어 있으므로 각각 전체 전압 V를 받습니다.
IR = V/R = 12/50 = 0.24 A
IX = V/XL = 12/125.7 = 0.09549 A
전체 전류
저항 전류는 V와 동상이고 리액턴스 전류는 90° 위상차가 있으므로 직각삼각형의 변처럼 더해집니다.
I = √(IR² + IX²) = √(0.24² + 0.09549²) = 0.2583 A
위상각
인덕터 전류는 V보다 뒤지므로 전체 전류도 뒤지고 각은 양수입니다.
φ = arctan(IX/IR) = arctan(0.09549/0.24) = 21.7°
답
φ = 21.7°
10.교류 임피던스와 페이저
답: I = 0.2407 A
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
XC = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31.83 Ω
병렬 조합
분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Zp를 실수부와 허수부로 나누세요.
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 14.42 − j22.65 Ω
전체 임피던스
Z = 30 + 14.42 − j22.65 = 44.42 − j22.65 Ω
|Z| = √(44.42² + 22.65²) = 49.86 Ω
전류
I = V/|Z| = 12/49.86 = 0.2407 A
답
I = 0.2407 A
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