물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+1 µC와 +2 µC의 전하가 50 cm 떨어져 있다. 두 전하를 잇는 선 위에서 +1 µC 전하로부터 얼마나 떨어진 곳 x에서 전기장이 0인가?

q₁ = +1 µCq₂ = +2 µCd = 50 cm

x = cm

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

질량이 각각 2 g인 똑같은 작은 공 두 개가 같은 점에서 길이 100 cm의 절연 실에 매달려 있다. 두 공에 같은 전하를 주자 각 실이 연직에서 8°인 곳에서 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 각 공의 전하 q을(를) nC로 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 100 cmθ = 8°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.저항의 직렬·병렬보통

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 회로가 정상 상태에 도달한 뒤 인덕터에 저장된 에너지 W(∞)을(를) mJ로 구하시오.

V_s = 12 VR = 10 ΩL = 100 mH

W(∞) = mJ

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 30 V이다. t = 15 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 12 VR = 1 kΩC = 33 µFv_C(0) = 30 Vt = 15 ms

v_C = V

7.자기장과 유도보통

전류 왼쪽이(가) 흐르는 도선이 종이 속으로을(를) 향하는 균일한 자기장 속에 있다. 도선에 작용하는 자기력의 방향을 클릭하세요.

I: 왼쪽B: 종이 속으로

1종이 위쪽
2오른쪽
3종이 아래쪽
4왼쪽

8.자기장과 유도어려움

알파 입자이(가) 정지 상태에서 출발해 10000 V의 전위차로 가속된 뒤 세기 0.8 T의 균일한 자기장에 직각으로 들어간다. 자기장 속에서 경로의 반지름 r을(를) 구하시오.

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0.8 T

r = cm

9.교류 임피던스와 페이저보통

저항과 인덕터가 230 V(실효값), 100 Hz 전원에 병렬로 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 150 mH

φ = °

10.교류 임피던스와 페이저어려움

저항 R₁이(가) R₂와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 24 V(실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 30 ΩC = 4.7 µF

|Z| = Ω

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: x = 20.71 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

같은 전기장

1/x² = 2/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(2/1) = 1.414

위치

x = 50/(1 + 1.414) = 20.71 cm

답

x = 20.71 cm

0인 점은 항상 작은 전하에 더 가깝습니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: q = 154.2 nC

평형에서 구한 전기력

장력의 수평 성분은 F와, 수직 성분은 m·g와 평형을 이룹니다.

F = m·g·tan θ = 0.002·9.81·tan 8° = 0.002757 N

두 공 사이의 거리

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 8° = 0.2783 m

전하

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.2783·√(0.002757/8.99 × 10⁹) = 1.542 × 10⁻⁷ C = 154.2 nC

답

q = 154.2 nC

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 0.4783 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 8 + 6 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 8·14/(8+14) = 5.091 Ω

R_eq = R₁ + 5.091 = 20 + 5.091 = 25.09 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/25.09 = 0.4783 A

답

I_R1 = 0.4783 A

4.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 9.605 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 30 + 8 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 7.917 Ω

R₃ + 7.917 = 12.92 Ω

R₂ ∥ 12.92 = 3.605 Ω

R_eq = R₁ + 3.605 = 6 + 3.605 = 9.605 Ω

답

R_eq = 9.605 Ω

5.RC·RL 과도 현상

답: W(∞) = 72 mJ

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 100 mH / 10 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 12/10 = 1.2 A

저장된 에너지

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·1.2² = 72 mJ

답

W(∞) = 72 mJ

6.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 23.43 V

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 1 kΩ · 33 µF = 33 ms

v_C(t) = 12 + (30 − 12)·e^−t/τ

주어진 시각의 전압

v_C(15) = 12 + (18)·e^−15/33 = 23.43 V

답

v_C = 23.43 V

7.자기장과 유도

답: 종이 아래쪽

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

오른손 법칙

손가락을 전류나 속도 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리세요. 엄지가 양전하에 작용하는 힘의 방향입니다.

I: 왼쪽, B: 종이 속으로

힘의 방향

종이 아래쪽

답

F: 종이 아래쪽

8.자기장과 유도

답: r = 2.546 cm

가속 뒤의 속력

v = √(2|q|V/m) = √(2·3.204 × 10⁻¹⁹·10000/(6.645 × 10⁻²⁷)) = 982005 m/s

자기장 속의 반지름

r = mv/(|q|B) = 0.02546 m = 2.546 cm

답

r = 2.546 cm

합치면 r = √(2mV/|q|)/B이므로 전하가 같으면 더 무거운 이온이 더 큰 원을 그립니다. 이렇게 동위원소를 분리합니다.

9.교류 임피던스와 페이저

답: φ = 11.98 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = ωL = 2π·100·0.15 = 94.25 Ω

가지 전류

두 가지 모두 전원에 바로 연결되어 있으므로 각각 전체 전압 V를 받습니다.

I_R = V/R = 230/20 = 11.5 A

I_X = V/X_L = 230/94.25 = 2.44 A

전체 전류

저항 전류는 V와 동상이고 리액턴스 전류는 90° 위상차가 있으므로 직각삼각형의 변처럼 더해집니다.

I = √(I_R² + I_X²) = √(11.5² + 2.44²) = 11.76 A

위상각

인덕터 전류는 V보다 뒤지므로 전체 전류도 뒤지고 각은 양수입니다.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(2.44/11.5) = 11.98°

답

φ = 11.98°

10.교류 임피던스와 페이저

답: |Z| = 66.02 Ω

리액턴스

X_C = 1/(2π·500·4.7·10⁻⁶) = 67.73 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Z_p를 실수부와 허수부로 나누세요.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 25.08 − j11.11 Ω

전체 임피던스

Z = 40 + 25.08 − j11.11 = 65.08 − j11.11 Ω

|Z| = √(65.08² + 11.11²) = 66.02 Ω

답

|Z| = 66.02 Ω

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