물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+4 µC인 전하와 −1 µC인 전하가 40 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 20 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q₁ = +4 µCq₂ = −1 µCr₁ = 20 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

전자가 평행한 두 판 사이의 균일한 전기장에 판과 평행하게 5 × 10⁷ m/s로 들어간다. 판의 길이는 6 cm이고 판 사이의 전기장은 4400 N/C이다. 전자의 전하는 1.602 × 10⁻¹⁹ C, 질량은 9.109 × 10⁻³¹ kg이며 중력은 무시한다. 판을 벗어날 때 옆으로 얼마나 y 휘어지는가? mm로 답하시오.

v₀ = 5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 4400 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.저항의 직렬·병렬보통

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 18 VR₁ = 25 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 50%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

V_s = 10 VR = 10 ΩL = 68 mH

t = ms

6.RC·RL 과도 현상어려움

스위치가 오랫동안 닫혀 있었으므로 회로는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 열린다. t = 20 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 6 VR₁ = 1 kΩR₂ = 1 kΩC = 10 µFt = 20 ms

v_C = V

7.자기장과 유도보통

2.5 × 10⁶ m/s로 움직이는 전자이(가) 균일한 자기장에 직각으로 들어와 반지름 0.2843 cm의 원을 그리며 움직인다. 자기선속밀도 B을(를) 구하시오.

m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 2.5 × 10⁶ m/sr = 0.2843 cm

B = mT

8.자기장과 유도어려움

긴 공심 솔레노이드의 감은 수가 1500, 길이가 25 cm, 지름이 4 cm이다. 1 A가 흐를 때 자기장에 저장된 에너지 W을(를) 구하시오.

N = 1500l = 25 cm⌀ = 4 cmI = 1 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 20 mHC = 100 µF

φ = °

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로의 R = 5 Ω, L = 20 mH, C = 0.1 µF이다. 대역폭 B(반전력 주파수 사이 대역의 폭)을(를) Hz로 구하시오.

R = 5 ΩL = 20 mHC = 0.1 µF

B = Hz

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 1.124 × 10⁶ N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0.2² = 899000 N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0.2² = 224750 N/C

방향과 합

첫 번째 전기장은 양전하에서 멀어지는 방향, 두 번째 전기장은 음전하 쪽을 향하므로 두 전기장의 방향이 같습니다.

E = |899000 + 224750| = 1.124 × 10⁶ N/C

답

E = 1.124 × 10⁶ N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: y = 0.5572 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

판 사이를 지나는 시간

t = L/v₀ = 0.06/5 × 10⁷ = 1.2 × 10⁻⁹ s

옆 방향 가속도

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·4400/9.109 × 10⁻³¹ = 7.738 × 10¹⁴ m/s²

처짐

y = ½·a·t² = ½·7.738 × 10¹⁴·(1.2 × 10⁻⁹)² = 0.0005572 m = 0.5572 mm

답

y = 0.5572 mm

전자는 전기장 방향과 반대로, 양극판 쪽으로 밀립니다.

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 1.333 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 4 + 2 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 3·6/(3+6) = 2 Ω

R_eq = R₁ + 2 = 3 + 2 = 5 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/5 = 2 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 2·3 = 4 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4/3 = 1.333 A

답

I_R2 = 1.333 A

4.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 29.5 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 4 + 3 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 5.185 Ω

R₃ + 5.185 = 8.185 Ω

R₂ ∥ 8.185 = 4.501 Ω

R_eq = R₁ + 4.501 = 25 + 4.501 = 29.5 Ω

답

R_eq = 29.5 Ω

5.RC·RL 과도 현상

답: t = 4.713 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 68 mH / 10 Ω = 6.8 ms

i(∞) = V_s/R = 10/10 = 1 A

시간에 대해 풀기

0.5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)

t = −6.8·ln(0.5) = 4.713 ms

답

t = 4.713 ms

6.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 0.406 V

초기 커패시터 전압

정상 상태에서 커패시터는 개방 회로이므로 R₁과 R₂가 전압 분배기를 이룹니다. 스위치가 열릴 때 커패시터 전압은 급변할 수 없습니다.

v_C(0) = 6·1/(1 + 1) = 3 V

스위치가 열린 뒤의 시정수

τ = R₂·C = 1·10 = 10 ms

방전

v_C(t) = 3·e^−20/10 = 0.406 V

답

v_C = 0.406 V

7.자기장과 유도

답: B = 5 mT

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

반지름으로 구하는 자기장

B = mv/(|q|r) = 9.109 × 10⁻³¹·2.5 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.002843) = 5 mT

답

B = 5 mT

8.자기장과 유도

답: W = 7.106 mJ

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

자체 인덕턴스

L = μ₀N²A/l = 14.21 mH

저장된 에너지

W = ½LI² = ½·0.01421·1² = 0.007106 J = 7.106 mJ

답

W = 7.106 mJ

9.교류 임피던스와 페이저

답: φ = 48.87 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.02 = 25.13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (17.17)²) = 22.8 Ω

위상각

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(17.17/15) = 48.87°

답

φ = 48.87°

10.교류 임피던스와 페이저

답: B = 39.79 Hz

공진 주파수

f₀ = 1/(2π·√(0.02·0.1·10⁻⁶)) = 3559 Hz

선택도

Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0.02/(0.1·10⁻⁶)) = 89.44

대역폭

B = f₀/Q = 3559/89.44 = 39.79 Hz

답

B = 39.79 Hz

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