물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+2 µC인 전하와 −10 µC인 전하가 10 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 2.5 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q₁ = +2 µCq₂ = −10 µCr₁ = 2.5 cmr₂ = 7.5 cm

E = N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

질량이 각각 5 g인 똑같은 작은 공 두 개가 같은 점에서 길이 20 cm의 절연 실에 매달려 있다. 두 공에 같은 전하를 주자 각 실이 연직에서 20°인 곳에서 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 각 공의 전하 q을(를) nC로 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 20 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.저항의 직렬·병렬보통

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

인덕터에 1 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. t = 5 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.

i(0) = 1 AR = 47 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 4 V이다. v_C이(가) 7.6 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

V_s = 10 VR = 3.3 kΩC = 10 µFv_C(0) = 4 V

t = ms

7.자기장과 유도보통

양성자이(가) 종이 속으로을(를) 향하는 균일한 자기장 속에서 종이 위쪽(으)로 움직인다. 그것에 작용하는 자기력의 방향을 클릭하세요.

v: 종이 위쪽B: 종이 속으로

1종이 위쪽
2오른쪽
3종이 아래쪽
4왼쪽

8.자기장과 유도어려움

알파 입자이(가) 정지 상태에서 출발해 5000 V의 전위차로 가속된 뒤 세기 0.4 T의 균일한 자기장에 직각으로 들어간다. 자기장 속에서 경로의 반지름 r을(를) 구하시오.

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0.4 T

r = cm

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 1000 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 4.7 µF

I = A

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로를 12 V(실효값) 전원으로 구동하며, 전원 주파수는 회로의 공진 주파수로 맞추어져 있다. 인덕터 양단의 실효 전압 V_L을(를) 구하시오.

V = 12 V (rms)R = 15 ΩL = 5 mHC = 1 µF

V_L = V

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 4.475 × 10⁷ N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0.025² = 2.877 × 10⁷ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0.075² = 1.598 × 10⁷ N/C

방향과 합

첫 번째 전기장은 양전하에서 멀어지는 방향, 두 번째 전기장은 음전하 쪽을 향하므로 두 전기장의 방향이 같습니다.

E = |2.877 × 10⁷ + 1.598 × 10⁷| = 4.475 × 10⁷ N/C

답

E = 4.475 × 10⁷ N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: q = 192.8 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

평형에서 구한 전기력

장력의 수평 성분은 F와, 수직 성분은 m·g와 평형을 이룹니다.

F = m·g·tan θ = 0.005·9.81·tan 20° = 0.01785 N

두 공 사이의 거리

r = 2·L·sin θ = 2·0.2·sin 20° = 0.1368 m

전하

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.1368·√(0.01785/8.99 × 10⁹) = 1.928 × 10⁻⁷ C = 192.8 nC

답

q = 192.8 nC

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 2.463 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 6 + 12 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 15·18/(15+18) = 8.182 Ω

R_eq = R₁ + 8.182 = 4 + 8.182 = 12.18 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/12.18 = 2.463 A

답

I_R1 = 2.463 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.1761 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 3 + 12 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 6 Ω

R₃ + 6 = 36 Ω

R₂ ∥ 36 = 12.86 Ω

R_eq = R₁ + 12.86 = 20 + 12.86 = 32.86 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/32.86 = 0.2739 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0.2739·20 = 3.522 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3.522/20 = 0.1761 A

답

I_R2 = 0.1761 A

5.RC·RL 과도 현상

답: i = 0.2087 A

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3.191 ms

전류의 감쇠

i(t) = 1·e^−5/3.191 = 0.2087 A

답

i = 0.2087 A

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 30.24 ms

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 10 µF = 33 ms

v_C(t) = 10 + (4 − 10)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

7.6 = 10 + (−6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (7.6 − 10)/(4 − 10) = 0.4

t = τ·ln((4 − 10)/(7.6 − 10)) = 33·ln(2.5) = 30.24 ms

답

t = 30.24 ms

7.자기장과 유도

답: 왼쪽

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

오른손 법칙

손가락을 전류나 속도 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리세요. 엄지가 양전하에 작용하는 힘의 방향입니다.

v: 종이 위쪽, B: 종이 속으로

힘의 방향

왼쪽

답

F: 왼쪽

8.자기장과 유도

답: r = 3.6 cm

가속 뒤의 속력

v = √(2|q|V/m) = √(2·3.204 × 10⁻¹⁹·5000/(6.645 × 10⁻²⁷)) = 694382 m/s

자기장 속의 반지름

r = mv/(|q|B) = 0.036 m = 3.6 cm

답

r = 3.6 cm

합치면 r = √(2mV/|q|)/B이므로 전하가 같으면 더 무거운 이온이 더 큰 원을 그립니다. 이렇게 동위원소를 분리합니다.

9.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.4559 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4.7·10⁻⁶) = 33.86 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (91.8)²) = 109.7 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 50/109.7 = 0.4559 A

답

I = 0.4559 A

10.교류 임피던스와 페이저

답: V_L = 56.57 V

공진

공진에서는 리액턴스가 상쇄되므로 임피던스는 R뿐입니다.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.005·1·10⁻⁶) = 14142 rad/s

I = V/R = 12/15 = 0.8 A

인덕터 양단의 전압

X_L = ω₀L = 14142·0.005 = 70.71 Ω

V_L = I·X_L = 0.8·70.71 = 56.57 V

답

V_L = 56.57 V

이는 전원 전압의 Q = 4.714배입니다.

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