물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

세 점전하가 한 직선 위에 있다. 왼쪽에 −2 µC, 거기서 20 cm 떨어진 오른쪽에 +3 µC, 그 사이 왼쪽 전하에서 15 cm인 곳에 +10 µC가 있다. 가운데 전하에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −2 µCq_R = +3 µCq_M = +10 µCr_L = 15 cmr_R = 5 cm

F = N

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 2 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 8 µC는 한 변을 따라 q₃에서 6 cm, q₂ = 2 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 6 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.

q₁ = 8 µCq₂ = 2 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.저항의 직렬·병렬보통

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

인덕터에 3 A의 정상 전류가 흐른다. t = 0에 스위치가 R을 통한 루프를 닫고 전원이 제거되어, 인덕터 전류는 R을 통해 감쇠한다. t = 5 ms에서 전류 i을(를) 구하시오.

i(0) = 3 AR = 50 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

6.RC·RL 과도 현상어려움

R₂ 양단의 스위치가 오랫동안 열려 있었으므로 인덕터 전류는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 닫혀 R₂을(를) 단락한다. t = 1 ms에서의 인덕터 전류 i을(를) 구하시오.

V_s = 10 VR₁ = 47 ΩR₂ = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

7.자기장과 유도보통

감은 수 25, 넓이 25 cm²인 코일이 있다. 코일이 평면에 수직인 0.3 T의 균일한 자기장 속에 있고, 그 자기장을 40 ms 동안 끈다. 평균 유도 기전력 ε을(를) 구하시오.

N = 25A = 25 cm²B = 0.3 TΔt = 40 ms

ε = mV

8.자기장과 유도어려움

감은 수 20, 12 cm × 10 cm인 코일이 자기장에 수직인 축을 중심으로 세기 0.1 T의 균일한 자기장 속에서 900 rpm으로 회전한다. 기전력의 실횻값 E_rms을(를) 구하시오.

N = 20A = 12 cm × 10 cmB = 0.1 Tn = 900 rpm

E_rms = V

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 230 V (실효값), 1000 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

φ = °

10.교류 임피던스와 페이저어려움

저항 R₁이(가) R₂와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 12 V(실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 60 ΩC = 100 µF

I = A

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 115.9 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

각 전하에 의한 힘

오른쪽이 양입니다.

F_L = −k·2·10 × 10⁻¹²/0.15² = −7.991 N

F_R = −k·3·10 × 10⁻¹²/0.05² = −107.9 N

알짜힘

F = −7.991 + (−107.9) = −115.9 N → |F| = 115.9 N

답

F = 115.9 N

알짜힘은 왼쪽을 향합니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 41.19 N

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

q₃에 작용하는 각 힘

F₁ = k·8·2 × 10⁻¹²/0.06² = 39.96 N

F₂ = k·2·2 × 10⁻¹²/0.06² = 9.989 N

벡터 합

F = √(39.96² + 9.989²) = 41.19 N

답

F = 41.19 N

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.6957 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 12·16/(12+16) = 6.857 Ω

R_eq = R₁ + 6.857 = 3 + 6.857 = 9.857 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/9.857 = 1.217 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1.217·3 = 8.348 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8.348/12 = 0.6957 A

답

I_R2 = 0.6957 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 0.9281 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 5 + 4 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 5.143 Ω

R₃ + 5.143 = 25.14 Ω

R₂ ∥ 25.14 = 9.395 Ω

R_eq = R₁ + 9.395 = 10 + 9.395 = 19.4 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/19.4 = 0.9281 A

답

I_R1 = 0.9281 A

5.RC·RL 과도 현상

답: i = 0.5666 A

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수

τ = L/R = 150 mH / 50 Ω = 3 ms

전류의 감쇠

i(t) = 3·e^−5/3 = 0.5666 A

답

i = 0.5666 A

6.RC·RL 과도 현상

답: i = 0.2053 A

초기값, 최종값, 시정수

t = 0 전에는 두 저항이 모두 루프에 있고, 그 후에는 닫힌 스위치가 R₂를 우회합니다.

i(0) = 10/(47 + 20) = 0.1493 A

i(∞) = 10/47 = 0.2128 A

τ = L/R = 22/47 = 0.4681 ms

i(t) = 0.2128 + (0.1493 − 0.2128)·e^−t/τ

주어진 시각의 전류

i(1) = 0.2128 + (−0.06351)·e^−1/0.4681 = 0.2053 A

답

i = 0.2053 A

7.자기장과 유도

답: ε = 468.8 mV

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = 0.3·0.0025 = 0.00075 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 25·0.00075/0.04 = 0.4688 V

답

ε = 468.8 mV

8.자기장과 유도

답: E_rms = 1.599 V

각속도와 넓이

ω = 2π·900/60 = 94.25 rad/s

A = 0.012 m²

최대 기전력

E₀ = NBAω = 20·0.1·0.012·94.25 = 2.262 V

실횻값

E_rms = 2.262/√2 = 1.599 V

답

E_rms = 1.599 V

9.교류 임피던스와 페이저

답: φ = 86.94 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0.05 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4.7·10⁻⁶) = 33.86 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (280.3)²) = 280.7 Ω

위상각

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(280.3/15) = 86.94°

답

φ = 86.94°

10.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.3229 A

리액턴스

X_C = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Z_p를 실수부와 허수부로 나누세요.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 9.81 − j22.19 Ω

전체 임피던스

Z = 20 + 9.81 − j22.19 = 29.81 − j22.19 Ω

|Z| = √(29.81² + 22.19²) = 37.16 Ω

전류

I = V/|Z| = 12/37.16 = 0.3229 A

답

I = 0.3229 A

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