물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

세 점전하가 한 직선 위에 있다. 왼쪽에 +5 µC, 거기서 40 cm 떨어진 오른쪽에 +6 µC, 그 사이 왼쪽 전하에서 24 cm인 곳에 −4 µC가 있다. 가운데 전하에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +5 µCq_R = +6 µCq_M = −4 µCr_L = 24 cmr_R = 16 cm

F = N

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

+3 µC와 −3 µC의 전하가 16 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하의 중점에서 8 cm 떨어진 수직 이등분선 위에 있다. P에서의 전기장 크기 E을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = −3 µCd = 16 cmh = 8 cm

E = N/C

3.저항의 직렬·병렬보통

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 12 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 36 VR₁ = 2 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 5 ms에서 인덕터 전압 v_L을(를) 구하시오.

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms

v_L = V

6.RC·RL 과도 현상어려움

스위치가 오랫동안 닫혀 있었으므로 회로는 정상 상태이다. t = 0에 스위치가 열린다. t = 20 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 9 VR₁ = 1 kΩR₂ = 1 kΩC = 10 µFt = 20 ms

v_C = V

7.자기장과 유도보통

12 cm 떨어진 긴 평행 도선 두 개에 같은 방향으로 2 A와 10 A의 전류가 흐른다. 두 도선 사이에 작용하는 단위 길이당 힘 F/L을(를) 구하시오.

I₁ = 2 AI₂ = 10 Ad = 12 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.자기장과 유도어려움

100 mH 인덕터의 전류가 50 ms 동안 2 A에서 2.5 A로 일정하게 변한다. 자체 유도 기전력의 크기 ε을(를) 구하시오.

L = 100 mH2 A → 2.5 AΔt = 50 ms

ε = V

9.교류 임피던스와 페이저보통

저항과 인덕터가 50 V(실효값), 100 Hz 전원에 병렬로 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 150 mH

φ = °

10.교류 임피던스와 페이저어려움

저항 R₁이(가) R₂와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 230 V(실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 100 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 5.307 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

각 전하에 의한 힘

오른쪽이 양입니다.

F_L = −k·5·4 × 10⁻¹²/0.24² = −3.122 N

F_R = +k·6·4 × 10⁻¹²/0.16² = 8.428 N

알짜힘

F = −3.122 + (8.428) = 5.307 N → |F| = 5.307 N

답

F = 5.307 N

알짜힘은 오른쪽을 향합니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 2.98 × 10⁶ N/C

한 전하의 거리와 전기장

r = √(8² + 8²) = 11.31 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0.1131² = 2.107 × 10⁶ N/C

성분

이등분선 방향의 성분은 상쇄됩니다.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·2.107 × 10⁶·0.7071 = 2.98 × 10⁶ N/C

답

E = 2.98 × 10⁶ N/C

전기장은 양전하에서 음전하로 향하는 선에 평행합니다.

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.5217 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 10 + 5 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 15·15/(15+15) = 7.5 Ω

R_eq = R₁ + 7.5 = 4 + 7.5 = 11.5 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/11.5 = 1.043 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1.043·4 = 7.826 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7.826/15 = 0.5217 A

답

I_R2 = 0.5217 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 1.475 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 6 + 3 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 6.618 Ω

R₃ + 6.618 = 16.62 Ω

R₂ ∥ 16.62 = 9.076 Ω

R_eq = R₁ + 9.076 = 2 + 9.076 = 11.08 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/11.08 = 3.25 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 3.25·2 = 29.5 V

I_R2 = V_A/R₂ = 29.5/20 = 1.475 A

답

I_R2 = 1.475 A

5.RC·RL 과도 현상

답: v_L = 1.325 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2.061 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0.4545 A

인덕터 전압

t = 0에서는 전원 전압 전체가 인덕터에 걸리고, 이후 0으로 감소합니다.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−5/2.061 = 1.325 V

답

v_L = 1.325 V

6.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 0.609 V

초기 커패시터 전압

정상 상태에서 커패시터는 개방 회로이므로 R₁과 R₂가 전압 분배기를 이룹니다. 스위치가 열릴 때 커패시터 전압은 급변할 수 없습니다.

v_C(0) = 9·1/(1 + 1) = 4.5 V

스위치가 열린 뒤의 시정수

τ = R₂·C = 1·10 = 10 ms

방전

v_C(t) = 4.5·e^−20/10 = 0.609 V

답

v_C = 0.609 V

7.자기장과 유도

답: F/L = 33.33 µN/m

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

단위 길이당 힘

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·2·10/0.12 = 33.33 µN/m

답

F/L = 33.33 µN/m

같은 방향의 전류는 서로 끌어당깁니다.

8.자기장과 유도

답: ε = 1 V

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

자체 유도 기전력

기전력은 전류의 변화를 방해하므로(렌츠) 부호는 ΔI와 반대이고, 크기는 L·|ΔI|/Δt입니다.

ε = L·ΔI/Δt = 0.1·0.5/0.05 = 1 V

답

ε = 1 V

9.교류 임피던스와 페이저

답: φ = 46.7 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = ωL = 2π·100·0.15 = 94.25 Ω

가지 전류

두 가지 모두 전원에 바로 연결되어 있으므로 각각 전체 전압 V를 받습니다.

I_R = V/R = 50/100 = 0.5 A

I_X = V/X_L = 50/94.25 = 0.5305 A

전체 전류

저항 전류는 V와 동상이고 리액턴스 전류는 90° 위상차가 있으므로 직각삼각형의 변처럼 더해집니다.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0.5² + 0.5305²) = 0.729 A

위상각

인덕터 전류는 V보다 뒤지므로 전체 전류도 뒤지고 각은 양수입니다.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(0.5305/0.5) = 46.7°

답

φ = 46.7°

10.교류 임피던스와 페이저

답: |Z| = 119.8 Ω

리액턴스

X_C = 1/(2π·60·22·10⁻⁶) = 120.6 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Z_p를 실수부와 허수부로 나누세요.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 59.25 − j49.14 Ω

전체 임피던스

Z = 50 + 59.25 − j49.14 = 109.2 − j49.14 Ω

|Z| = √(109.2² + 49.14²) = 119.8 Ω

답

|Z| = 119.8 Ω

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