쿨롱 법칙과 전기장
- 쿨롱 법칙
- F = k·|q1q2|/r²
- 점전하의 전기장
- E = k·|q|/r²
- 상수
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 전하가 받는 힘
- F = q·E
물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
저항의 직렬·병렬
- 저항의 직렬 연결
- Req = R1 + R2 + …
- 저항의 병렬 연결
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 두 저항의 병렬
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- 옴의 법칙
- V = I·R
- 전력
- P = V·I = I²R = V²/R
방법
- 단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
- 직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
- 단계마다 회로를 다시 그리세요.
- 단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.
RC·RL 과도 현상
- 시정수
- τ = RC | τ = L/R
- 응답
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 직류에서의 커패시터
- 개방; vC는 갑자기 변할 수 없음
- 직류에서의 인덕터
- 단락; iL은 갑자기 변할 수 없음
- 정상 상태 값
- t ≈ 5τ
방법
- 스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
- 스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
- 커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ를 쓰세요.
자기장과 유도
- 긴 직선 도선
- B = μ0I/(2πr)
- 평평한 코일의 중심
- B = μ0NI/(2R)
- 긴 솔레노이드
- B = μ0nI, n = N/L
- 상수
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 도선에 작용하는 힘
- F = BIL·sin θ
- 전하가 받는 힘
- F = |q|vB·sin θ
- 원운동
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 평행한 도선
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 선속
- Φ = BA·cos θ
- 패러데이 법칙
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 움직이는 막대
- ε = BLv
- 발전기
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- 인덕턴스
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 상호 인덕턴스
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 속도 선택기와 질량 분석기
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
방법
- 모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
- 올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
- 유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
- 방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
2연습 문제
1.쿨롱 법칙과 전기장보통
+4 µC와 +3 µC의 전하가 10 cm 떨어져 있다. 두 전하를 잇는 선 위에서 +4 µC 전하로부터 얼마나 떨어진 곳 x에서 전기장이 0인가?
q1 = +4 µCq2 = +3 µCd = 10 cm
x = cm
2.쿨롱 법칙과 전기장어려움
세 양의 점전하가 직각삼각형의 꼭짓점에 있다. q₃ = 2 µC는 직각인 꼭짓점에 있고, q₁ = 3 µC는 한 변을 따라 q₃에서 10 cm, q₂ = 6 µC는 다른 변을 따라 q₃에서 6 cm 떨어져 있다. q₃에 작용하는 알짜 전기력의 크기 F을(를) 구하시오.
q1 = 3 µCq2 = 6 µCq3 = 2 µCr13 = 10 cmr23 = 6 cm
F = N
3.저항의 직렬·병렬보통
R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.
V1 = 9 VR1 = 4 ΩR2 = 15 ΩR3 = 2 ΩR4 = 6 Ω
IR2 = A
4.저항의 직렬·병렬어려움
R2에 흐르는 전류 IR2을(를) 구하시오.
V1 = 12 VR1 = 30 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 ΩR4 = 3 ΩR5 = 30 ΩR6 = 15 Ω
IR2 = A
5.RC·RL 과도 현상보통
t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 90%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.
Vs = 15 VR = 47 ΩL = 220 mH
t = ms
6.RC·RL 과도 현상어려움
타이머가 t = 0에 15 V 전원에서 저항을 통해 충전되지 않은 커패시터를 충전하기 시작한다. 타이머는 시작 후 정확히 200 ms에 커패시터 전압이 9 V에 도달할 때 작동해야 한다. C = 4.7 µF일 때 필요한 저항 R을(를) 구하시오.
Vs = 15 VVth = 9 VT = 200 msC = 4.7 µF
R = kΩ
7.자기장과 유도보통
감은 수 500, 넓이 150 cm², 저항 4 Ω인 코일이 닫힌 회로를 이룬다. 코일에 수직인 균일한 자기장이 200 ms 동안 0.2 T에서 1 T로 일정하게 증가한다. 평균 유도 전류 I을(를) 구하시오.
N = 500A = 150 cm²B: 0.2 T → 1 TΔt = 200 msR = 4 Ω
I = A
8.자기장과 유도어려움
감은 수 150, 5 cm × 5 cm인 코일이 자기장에 수직인 축을 중심으로 세기 0.1 T의 균일한 자기장 속에서 600 rpm으로 회전한다. 최대 기전력 E0을(를) 구하시오.
N = 150A = 5 cm × 5 cmB = 0.1 Tn = 600 rpm
E0 = V
9.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.
V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF
I = A
10.교류 임피던스와 페이저어려움
저항 R1이(가) R2와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 120 V(실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.
V = 120 V (rms)f = 50 HzR1 = 40 ΩR2 = 40 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω
3용액
1.쿨롱 법칙과 전기장
답: x = 5.359 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
같은 전기장
4/x² = 3/(10 − x)²
(10 − x)/x = √(3/4) = 0.866
위치
x = 10/(1 + 0.866) = 5.359 cm
답
x = 5.359 cm
0인 점은 항상 작은 전하에 더 가깝습니다.
2.쿨롱 법칙과 전기장
답: F = 30.45 N
쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.
q₃에 작용하는 각 힘
F1 = k·3·2 × 10⁻¹²/0.1² = 5.394 N
F2 = k·6·2 × 10⁻¹²/0.06² = 29.97 N
벡터 합
F = √(5.394² + 29.97²) = 30.45 N
답
F = 30.45 N
3.저항의 직렬·병렬
답: IR2 = 0.3396 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R3 + R4 = 2 + 6 = 8 Ω
R2 ∥ 8 = 15·8/(15+8) = 5.217 Ω
Req = R1 + 5.217 = 4 + 5.217 = 9.217 Ω
전원 전류
전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1/Req = 9/9.217 = 0.9764 A
R₂에 흐르는 전류
R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.
VA = V1 − IR1·R1 = 9 − 0.9764·4 = 5.094 V
IR2 = VA/R2 = 5.094/15 = 0.3396 A
답
IR2 = 0.3396 A
4.저항의 직렬·병렬
답: IR2 = 0.1621 A
직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.
먼 쪽 끝부터 저항 합치기
전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.
R5 + R6 = 30 + 15 = 45 Ω
R4 ∥ 45 = 2.813 Ω
R3 + 2.813 = 8.813 Ω
R2 ∥ 8.813 = 4.684 Ω
Req = R1 + 4.684 = 30 + 4.684 = 34.68 Ω
전원 전류
전원은 Req만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.
IR1 = V1/Req = 12/34.68 = 0.346 A
R₂에 흐르는 전류
R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.
VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0.346·30 = 1.621 V
IR2 = VA/R2 = 1.621/10 = 0.1621 A
답
IR2 = 0.1621 A
5.RC·RL 과도 현상
답: t = 10.78 ms
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
시정수와 최종 전류
스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.
τ = L/R = 220 mH / 47 Ω = 4.681 ms
i(∞) = Vs/R = 15/47 = 0.3191 A
시간에 대해 풀기
0.9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.9)
t = −4.681·ln(0.1) = 10.78 ms
답
t = 10.78 ms
6.RC·RL 과도 현상
답: R = 46.44 kΩ
1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.
필요한 시정수
9 = 15·(1 − e−200/τ) → τ = 200/ln(15/(15 − 9))
τ = 200/0.9163 = 218.3 ms
저항
kΩ × µF는 밀리초입니다.
R = τ/C = 218.3/4.7 = 46.44 kΩ
답
R = 46.44 kΩ
7.자기장과 유도
답: I = 7.5 A
전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.
한 번 감긴 부분당 선속 변화
ΔΦ = (1 − 0.2)·0.015 = 0.012 Wb
평균 기전력
ε = NΔΦ/Δt = 500·0.012/0.2 = 30 V
전류
I = ε/R = 30/4 = 7.5 A
답
I = 7.5 A
8.자기장과 유도
답: E0 = 2.356 V
전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.
각속도와 넓이
ω = 2π·600/60 = 62.83 rad/s
A = 0.0025 m²
최대 기전력
E₀ = NBAω = 150·0.1·0.0025·62.83 = 2.356 V
답
E0 = 2.356 V
9.교류 임피던스와 페이저
답: I = 0.1567 A
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·4.7·10⁻⁶) = 677.3 Ω
임피던스
직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−630.1)²) = 638 Ω
전류
직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.
I = V/|Z| = 100/638 = 0.1567 A
답
I = 0.1567 A
10.교류 임피던스와 페이저
답: |Z| = 77.84 Ω
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
XC = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω
병렬 조합
분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Zp를 실수부와 허수부로 나누세요.
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 37.16 − j10.27 Ω
전체 임피던스
Z = 40 + 37.16 − j10.27 = 77.16 − j10.27 Ω
|Z| = √(77.16² + 10.27²) = 77.84 Ω
답
|Z| = 77.84 Ω
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