물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

똑같은 작은 금속구 두 개의 전하가 +1 µC와 +3 µC이다. 두 구를 접촉시킨 뒤 다시 30 cm 떨어뜨려 놓는다. 이제 두 구 사이의 힘의 크기 F을(를) 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = +3 µCr = 30 cm

F = N

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

질량이 각각 2 g인 똑같은 작은 공 두 개가 같은 점에서 길이 100 cm의 절연 실에 매달려 있다. 두 공에 같은 전하를 주자 각 실이 연직에서 20°인 곳에서 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 각 공의 전하 q을(를) nC로 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 100 cmθ = 20°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.저항의 직렬·병렬보통

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

R₂에 흐르는 전류 I_R2을(를) 구하시오.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. 스위치를 닫은 뒤 얼마 후에 전류가 최종값의 50%에 도달하는가? t을(를) 구하시오.

V_s = 6 VR = 50 ΩL = 220 mH

t = ms

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 18 V이다. v_C이(가) 17.1 V에 도달하는 데 걸리는 시간은? t을(를) 구하시오.

V_s = 15 VR = 6.8 kΩC = 220 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

7.자기장과 유도보통

감은 수 250, 넓이 25 cm²인 코일이 있다. 코일의 평면에 수직인 0.4 T의 균일한 자기장 속에서 코일을 250 ms 동안 뒤집는다(180° 회전). 평균 유도 기전력 ε을(를) 구하시오.

N = 250A = 25 cm²B = 0.4 TΔt = 250 ms

ε = V

8.자기장과 유도어려움

자체 인덕턴스가 20 mH와 100 mH인 두 코일의 결합 계수가 0.3이다. 첫 번째 코일의 전류가 100 A/s로 변한다. 두 번째 코일에 유도되는 기전력 ε을(를) 구하시오.

L₁ = 20 mHL₂ = 100 mHk = 0.3di/dt = 100 A/s

ε = V

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 24 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 전원에서 공급받는 유효 전력 P을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 22 µF

P = W

10.교류 임피던스와 페이저어려움

저항 R₁이(가) R₂와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 50 V(실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 60 ΩC = 22 µF

|Z| = Ω

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: F = 0.3996 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

접촉 후의 전하

q′ = (1 + 3)/2 = 2 µC

새 힘

F = 8.99 × 10⁹·(2 × 10⁻⁶)²/0.3² = 0.3996 N

답

F = 0.3996 N

이제 두 구의 부호가 같으므로 서로 밀어냅니다.

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: q = 609.7 nC

평형에서 구한 전기력

장력의 수평 성분은 F와, 수직 성분은 m·g와 평형을 이룹니다.

F = m·g·tan θ = 0.002·9.81·tan 20° = 0.007141 N

두 공 사이의 거리

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 20° = 0.684 m

전하

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.684·√(0.007141/8.99 × 10⁹) = 6.097 × 10⁻⁷ C = 609.7 nC

답

q = 609.7 nC

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 1.371 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 20 + 2 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 10·22/(10+22) = 6.875 Ω

R_eq = R₁ + 6.875 = 15 + 6.875 = 21.88 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/21.88 = 1.371 A

답

I_R1 = 1.371 A

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R2 = 0.2961 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 30 + 6 = 36 Ω

R₄ ∥ 36 = 5.143 Ω

R₃ + 5.143 = 11.14 Ω

R₂ ∥ 11.14 = 4.657 Ω

R_eq = R₁ + 4.657 = 15 + 4.657 = 19.66 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/19.66 = 0.5087 A

R₂에 흐르는 전류

R₁의 전압 강하를 빼면 마디 A의 전압, 즉 R₂ 양단 전압이 됩니다.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0.5087·15 = 2.369 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2.369/8 = 0.2961 A

답

I_R2 = 0.2961 A

5.RC·RL 과도 현상

답: t = 3.05 ms

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4.4 ms

i(∞) = V_s/R = 6/50 = 0.12 A

시간에 대해 풀기

0.5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.5)

t = −4.4·ln(0.5) = 3.05 ms

답

t = 3.05 ms

6.RC·RL 과도 현상

답: t = 533.6 ms

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 6.8 kΩ · 220 µF = 1496 ms

v_C(t) = 15 + (18 − 15)·e^−t/τ

시간에 대해 풀기

17.1 = 15 + (3)·e^−t/τ → e^−t/τ = (17.1 − 15)/(18 − 15) = 0.7

t = τ·ln((18 − 15)/(17.1 − 15)) = 1496·ln(1.429) = 533.6 ms

답

t = 533.6 ms

7.자기장과 유도

답: ε = 2 V

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = 2·0.4·0.0025 = 0.002 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 250·0.002/0.25 = 2 V

답

ε = 2 V

8.자기장과 유도

답: ε = 1.342 V

상호 인덕턴스

M = 0.3·√(20·100) = 13.42 mH

유도 기전력

ε = M·di/dt = 0.01342·100 = 1.342 V

답

ε = 1.342 V

9.교류 임피던스와 페이저

답: P = 5.819 W

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = 62.83 Ω, X_C = 14.47 Ω

임피던스

|Z| = √(60² + (48.36)²) = 77.06 Ω

유효 전력

인덕터와 커패시터는 에너지를 저장했다가 돌려줄 뿐이며, 저항이 유효 전력을 모두 흡수합니다.

I = 24/77.06 = 0.3114 A

P = I²·R = 0.3114²·60 = 5.819 W

답

P = 5.819 W

10.교류 임피던스와 페이저

답: |Z| = 74.29 Ω

리액턴스

X_C = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Z_p를 실수부와 허수부로 나누세요.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 51.2 − j21.23 Ω

전체 임피던스

Z = 20 + 51.2 − j21.23 = 71.2 − j21.23 Ω

|Z| = √(71.2² + 21.23²) = 74.29 Ω

답

|Z| = 74.29 Ω

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