물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+1 µC인 전하와 +6 µC인 전하가 40 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 20 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q₁ = +1 µCq₂ = +6 µCr₁ = 20 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

질량이 각각 8 g인 똑같은 작은 공 두 개가 같은 점에서 길이 50 cm의 절연 실에 매달려 있다. 두 공에 같은 전하를 주자 각 실이 연직에서 5°인 곳에서 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 각 공의 전하 q을(를) nC로 구하시오. Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 50 cmθ = 5°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.저항의 직렬·병렬보통

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 3 Ω

R_eq = Ω

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 18 VR₁ = 30 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

5.RC·RL 과도 현상보통

t = 0에서 스위치가 닫히기 전에는 인덕터에 전류가 흐르지 않는다. t = 80 ms에서 인덕터에 저장된 에너지 W을(를) mJ로 구하시오.

V_s = 20 VR = 5 ΩL = 150 mHt = 80 ms

W = mJ

6.RC·RL 과도 현상어려움

타이머가 t = 0에 12 V 전원에서 저항을 통해 충전되지 않은 커패시터를 충전하기 시작한다. 타이머는 시작 후 정확히 10 ms에 커패시터 전압이 10.8 V에 도달할 때 작동해야 한다. R = 2.2 kΩ일 때 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

V_s = 12 VV_th = 10.8 VT = 10 msR = 2.2 kΩ

C = µF

7.자기장과 유도보통

6 cm 떨어진 긴 평행 도선 두 개에 서로 반대 방향으로 10 A와 20 A의 전류가 흐른다. 두 도선 사이에 작용하는 단위 길이당 힘 F/L을(를) 구하시오.

I₁ = 10 AI₂ = 20 Ad = 6 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.자기장과 유도어려움

양성자이(가) 정지 상태에서 출발해 2000 V의 전위차로 가속된 뒤 세기 0.25 T의 균일한 자기장에 직각으로 들어간다. 자기장 속에서 경로의 반지름 r을(를) 구하시오.

m = 1.673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 2000 VB = 0.25 T

r = cm

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 24 V (실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 전원에서 공급받는 유효 전력 P을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 4.7 µF

P = W

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 10 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF

I = A

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 1.124 × 10⁶ N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0.2² = 224750 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0.2² = 1.348 × 10⁶ N/C

방향과 합

두 전하가 모두 양전하입니다: P에서 각 전기장은 자기 전하에서 멀어지는 방향, 즉 서로 반대 방향을 향합니다.

E = |224750 − 1.348 × 10⁶| = 1.124 × 10⁶ N/C

답

E = 1.124 × 10⁶ N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: q = 76.17 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

평형에서 구한 전기력

장력의 수평 성분은 F와, 수직 성분은 m·g와 평형을 이룹니다.

F = m·g·tan θ = 0.008·9.81·tan 5° = 0.006866 N

두 공 사이의 거리

r = 2·L·sin θ = 2·0.5·sin 5° = 0.08716 m

전하

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.08716·√(0.006866/8.99 × 10⁹) = 7.617 × 10⁻⁸ C = 76.17 nC

답

q = 76.17 nC

3.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 10.89 Ω

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 20 + 3 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 12·23/(12+23) = 7.886 Ω

R_eq = R₁ + 7.886 = 3 + 7.886 = 10.89 Ω

답

R_eq = 10.89 Ω

4.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 0.5094 A

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 10 + 10 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 12 Ω

R₃ + 12 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 5.333 Ω

R_eq = R₁ + 5.333 = 30 + 5.333 = 35.33 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/35.33 = 0.5094 A

답

I_R1 = 0.5094 A

5.RC·RL 과도 현상

답: W = 1039 mJ

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

시정수와 최종 전류

스위치를 닫고 오래 지나면 인덕터는 단락처럼 동작하므로 최종 전류는 R로만 정해집니다.

τ = L/R = 150 mH / 5 Ω = 30 ms

i(∞) = V_s/R = 20/5 = 4 A

주어진 시각의 전류

i(t) = 4·(1 − e^−80/30) = 3.722 A

저장된 에너지

W = ½·L·i² = ½·150·3.722² = 1039 mJ

답

W = 1039 mJ

6.RC·RL 과도 현상

답: C = 1.974 µF

필요한 시정수

10.8 = 12·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(12/(12 − 10.8))

τ = 10/2.303 = 4.343 ms

정전 용량

kΩ × µF는 밀리초입니다.

C = τ/R = 4.343/2.2 = 1.974 µF

답

C = 1.974 µF

7.자기장과 유도

답: F/L = 666.7 µN/m

자기력: 자기장 B 속에서 전류 I가 흐르는 직선 도선은 F = BIL·sin θ의 힘을, 움직이는 전하는 F = |q|vB·sin θ의 힘을 받습니다. θ는 전류(또는 속도)와 B 사이의 각입니다. 힘은 둘 모두에 수직입니다. 오른손 손가락을 I나 v 방향으로 향하고 B 쪽으로 구부리면 엄지가 양전하에 작용하는 F를 가리키고, 음전하는 반대입니다. F가 v에 수직이므로 균일한 자기장을 가로질러 움직이는 전하는 원운동을 합니다: |q|vB = mv²/r에서 r = mv/(|q|B)이고 주기 T = 2πm/(|q|B)는 속력에 의존하지 않습니다. 평행한 두 도선은 전류가 같은 방향이면 서로 끌어당깁니다: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

단위 길이당 힘

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·10·20/0.06 = 666.7 µN/m

답

F/L = 666.7 µN/m

반대 방향의 전류는 서로 밀어냅니다.

8.자기장과 유도

답: r = 2.585 cm

가속 뒤의 속력

v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·2000/(1.673 × 10⁻²⁷)) = 618890 m/s

자기장 속의 반지름

r = mv/(|q|B) = 0.02585 m = 2.585 cm

답

r = 2.585 cm

합치면 r = √(2mV/|q|)/B이므로 전하가 같으면 더 무거운 이온이 더 큰 원을 그립니다. 이렇게 동위원소를 분리합니다.

9.교류 임피던스와 페이저

답: P = 0.2026 W

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = 94.25 Ω, X_C = 564.4 Ω

임피던스

|Z| = √(80² + (−470.1)²) = 476.9 Ω

유효 전력

인덕터와 커패시터는 에너지를 저장했다가 돌려줄 뿐이며, 저항이 유효 전력을 모두 흡수합니다.

I = 24/476.9 = 0.05033 A

P = I²·R = 0.05033²·80 = 0.2026 W

답

P = 0.2026 W

10.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.09841 A

리액턴스

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0.2 = 251.3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·4.7·10⁻⁶) = 169.3 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (82.01)²) = 101.6 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 10/101.6 = 0.09841 A

답

I = 0.09841 A

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