물리학 2: 전기와 자기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

쿨롱 법칙과 전기장

쿨롱 법칙: F = k·|q₁q₂|/r²
점전하의 전기장: E = k·|q|/r²
상수: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
전하가 받는 힘: F = q·E

저항의 직렬·병렬

저항의 직렬 연결: R_eq = R₁ + R₂ + …
저항의 병렬 연결: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
두 저항의 병렬: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
옴의 법칙: V = I·R
전력: P = V·I = I²R = V²/R

방법

단자에서 가장 먼 회로망 끝에서 시작하세요.
직렬 저항은 더하고, 병렬 저항은 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …로 합성하세요.
단계마다 회로를 다시 그리세요.
단자 사이에 저항이 하나 남을 때까지 반복하세요.

RC·RL 과도 현상

시정수: τ = RC | τ = L/R
응답: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
직류에서의 커패시터: 개방; v_C는 갑자기 변할 수 없음
직류에서의 인덕터: 단락; i_L은 갑자기 변할 수 없음
정상 상태 값: t ≈ 5τ

방법

스위칭 직후의 초깃값을 구하세요. 커패시터 전압과 인덕터 전류는 갑자기 변할 수 없습니다.
스위칭 후 충분히 지난 뒤의 최종값을 구하세요. 커패시터는 개방 회로, 인덕터는 단락 회로처럼 동작합니다.
커패시터나 인덕터에서 본 저항을 이용해 시정수 τ = RC 또는 τ = L/R을 구하세요.
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ를 쓰세요.

자기장과 유도

긴 직선 도선: B = μ₀I/(2πr)
평평한 코일의 중심: B = μ₀NI/(2R)
긴 솔레노이드: B = μ₀nI, n = N/L
상수: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
도선에 작용하는 힘: F = BIL·sin θ
전하가 받는 힘: F = |q|vB·sin θ
원운동: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
평행한 도선: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
선속: Φ = BA·cos θ
패러데이 법칙: ε = −N·ΔΦ/Δt
움직이는 막대: ε = BLv
발전기: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
인덕턴스: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
상호 인덕턴스: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
속도 선택기와 질량 분석기: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

방법

모든 양을 SI 단위로 바꾸세요: cm를 m로, cm²를 m²로, mT와 µT를 T로.
올바른 공식을 고르세요: 도선은 B = μ₀I/(2πr), 코일의 중심은 μ₀NI/(2R), 솔레노이드 안은 μ₀nI이며, 힘은 F = BIL·sin θ 또는 |q|vB·sin θ입니다.
유도에서는 선속의 변화 ΔΦ = Δ(BA·cos θ)를 구해 ε = N·ΔΦ/Δt를 쓰고, 움직이는 막대에는 ε = BLv, 회전하는 코일에는 NBAω를 쓰세요.
방향은 오른손 법칙으로, 유도 전류는 렌츠 법칙으로 따로 구하세요.

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

2연습 문제

1.쿨롱 법칙과 전기장보통

+4 µC인 전하와 −8 µC인 전하가 50 cm 떨어져 있다. 점 P는 두 전하를 잇는 선분 위에 있으며 첫 번째 전하로부터 20 cm 떨어져 있다. P에서 전기장의 크기 E을(를) 구하시오.

q₁ = +4 µCq₂ = −8 µCr₁ = 20 cmr₂ = 30 cm

E = N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장어려움

전자가 평행한 두 판 사이의 균일한 전기장에 판과 평행하게 1.5 × 10⁷ m/s로 들어간다. 판의 길이는 2 cm이고 판 사이의 전기장은 3100 N/C이다. 전자의 전하는 1.602 × 10⁻¹⁹ C, 질량은 9.109 × 10⁻³¹ kg이며 중력은 무시한다. 판을 벗어날 때 옆으로 얼마나 y 휘어지는가? mm로 답하시오.

v₀ = 1.5 × 10⁷ m/sL = 2 cmE = 3100 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.저항의 직렬·병렬보통

전원이 공급하며 R₁에 흐르는 전류 I_R1을(를) 구하시오.

V₁ = 10 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.저항의 직렬·병렬어려움

전원 V₁이(가) 보는 합성 저항 R_eq을(를) 구하시오.

V₁ = 30 VR₁ = 30 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.RC·RL 과도 현상보통

전원 Vₛ가 R₁을 통해 커패시터를 충전하며, R₂는 C와 병렬로 연결되어 있습니다. t = 0에서 스위치가 닫힐 때 커패시터는 충전되어 있지 않다. t = 40 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 24 VR₁ = 1 kΩR₂ = 10 kΩC = 22 µFt = 40 ms

v_C = V

6.RC·RL 과도 현상어려움

t = 0에서 스위치가 닫히기 직전, 커패시터 전압은 표시된 극성으로 5 V이다. t = 120 ms에서 커패시터 전압 v_C을(를) 구하시오.

V_s = 10 VR = 10 kΩC = 33 µFv_C(0) = 5 Vt = 120 ms

v_C = V

7.자기장과 유도보통

감은 수 200, 넓이 10 cm², 저항 10 Ω인 코일이 닫힌 회로를 이룬다. 코일에 수직인 균일한 자기장이 20 ms 동안 0.2 T에서 0.5 T로 일정하게 증가한다. 평균 유도 전류 I을(를) 구하시오.

N = 200A = 10 cm²B: 0.2 T → 0.5 TΔt = 20 msR = 10 Ω

I = mA

8.자기장과 유도어려움

감은 수 20인 짧은 코일이 감은 수 1500, 길이 25 cm, 지름 3 cm인 긴 솔레노이드의 가운데에 촘촘히 감겨 있다. 솔레노이드의 전류가 10 A/s로 변한다. 짧은 코일에 유도되는 기전력 ε을(를) 구하시오.

N₁ = 1500N₂ = 20l = 25 cm⌀ = 3 cmdi/dt = 10 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

10.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로의 R = 10 Ω, L = 2 mH, C = 0.022 µF이다. 대역폭 B(반전력 주파수 사이 대역의 폭)을(를) Hz로 구하시오.

R = 10 ΩL = 2 mHC = 0.022 µF

B = Hz

3용액

1.쿨롱 법칙과 전기장

답: E = 1.698 × 10⁶ N/C

쿨롱 법칙: 두 점전하는 F = k·|q₁·q₂|/r²의 힘으로 서로 끌어당기거나 밀어냅니다. 여기서 k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²입니다. 점전하의 전기장은 E = k·|q|/r²이며, 양전하에서는 바깥쪽을, 음전하에서는 전하 쪽을 향합니다. 여러 전하가 만드는 힘과 전기장은 벡터로 더해집니다.

각 전하의 전기장

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0.2² = 899000 N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0.3² = 799111 N/C

방향과 합

첫 번째 전기장은 양전하에서 멀어지는 방향, 두 번째 전기장은 음전하 쪽을 향하므로 두 전기장의 방향이 같습니다.

E = |899000 + 799111| = 1.698 × 10⁶ N/C

답

E = 1.698 × 10⁶ N/C

2.쿨롱 법칙과 전기장

답: y = 0.4846 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

판 사이를 지나는 시간

t = L/v₀ = 0.02/1.5 × 10⁷ = 1.333 × 10⁻⁹ s

옆 방향 가속도

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·3100/9.109 × 10⁻³¹ = 5.452 × 10¹⁴ m/s²

처짐

y = ½·a·t² = ½·5.452 × 10¹⁴·(1.333 × 10⁻⁹)² = 0.0004846 m = 0.4846 mm

답

y = 0.4846 mm

전자는 전기장 방향과 반대로, 양극판 쪽으로 밀립니다.

3.저항의 직렬·병렬

답: I_R1 = 0.6818 A

직렬과 병렬 저항: 직렬에서는 각 저항에 같은 전류가 흐르고 R = R₁ + R₂ + …. 병렬에서는 각 저항에 같은 전압이 걸리고 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. 사다리 회로는 하나의 합성 저항이 남을 때까지 한 쌍씩 줄입니다.

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₃ + R₄ = 8 + 2 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 20·10/(20+10) = 6.667 Ω

R_eq = R₁ + 6.667 = 8 + 6.667 = 14.67 Ω

전원 전류

전원은 R_eq만 보므로 옴의 법칙으로 전원이 내보내는 전류를 구합니다. 이 전류는 R₁에 흐릅니다.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/14.67 = 0.6818 A

답

I_R1 = 0.6818 A

4.저항의 직렬·병렬

답: R_eq = 40.26 Ω

먼 쪽 끝부터 저항 합치기

전원에서 가장 먼 끝에서 시작해 전원 쪽으로 돌아옵니다. 같은 전류가 흐르는 저항은 직렬, 같은 두 마디 사이의 저항은 병렬입니다.

R₅ + R₆ = 3 + 30 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 12.45 Ω

R₃ + 12.45 = 32.45 Ω

R₂ ∥ 32.45 = 10.26 Ω

R_eq = R₁ + 10.26 = 30 + 10.26 = 40.26 Ω

답

R_eq = 40.26 Ω

5.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 18.87 V

1차 과도 현상: 커패시터나 인덕터가 하나인 회로에서 모든 전압과 전류는 초기값에서 최종값으로 지수적으로 변합니다: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, τ = RC 또는 τ = L/R. 약 5τ 뒤에 회로가 정상 상태가 됩니다.

커패시터에서 본 테브난 등가 회로

R_th를 구하려면 전원을 단락하고, 최종 전압을 구하려면 커패시터를 개방하세요.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·10/(1 + 10) = 0.9091 kΩ

v_C(∞) = 24·10/(1 + 10) = 21.82 V

시정수

τ = R_th·C = 0.9091·22 = 20 ms

충전 곡선

v_C(t) = 21.82·(1 − e^−40/20) = 18.87 V

답

v_C = 18.87 V

6.RC·RL 과도 현상

답: v_C = 6.524 V

초기값, 최종값, 시정수

커패시터 전압은 갑자기 변할 수 없으므로 저장된 값에서 시작해 전원 전압으로 향합니다.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 10 kΩ · 33 µF = 330 ms

v_C(t) = 10 + (5 − 10)·e^−t/τ

주어진 시각의 전압

v_C(120) = 10 + (−5)·e^−120/330 = 6.524 V

답

v_C = 6.524 V

7.자기장과 유도

답: I = 300 mA

전자기 유도: 고리를 지나는 선속은 Φ = BA·cos θ이며, θ는 B와 고리의 법선 사이의 각입니다. 패러데이 법칙: 선속이 변하면 감은 수 N인 코일에 기전력 = −N·dΦ/dt가 유도되고, 렌츠 법칙에 따르면 유도 전류는 자신의 자기장이 그 변화를 방해하도록 흐릅니다. 자기장을 가로질러 움직이는 막대는 기전력 = BLv를 줍니다. ω로 회전하는 코일은 e = NBAω·sin ωt를 주며 최댓값은 NBAω입니다. 자체 인덕턴스: 기전력 = −L·di/dt이고 긴 솔레노이드에서는 L = μ₀N²A/l이며, 저장된 에너지는 W = ½LI²입니다. 결합된 두 코일: 기전력₂ = −M·di₁/dt이고 M = k√(L₁L₂)입니다.

한 번 감긴 부분당 선속 변화

ΔΦ = (0.5 − 0.2)·0.001 = 0.0003 Wb

평균 기전력

ε = NΔΦ/Δt = 200·0.0003/0.02 = 3 V

전류

I = ε/R = 3/10 = 0.3 A

답

I = 300 mA

8.자기장과 유도

답: ε = 1.066 mV

상호 인덕턴스

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1500·20·0.0007069/0.25 = 106.6 µH

유도 기전력

ε = M·di/dt = 0.0001066·10 = 1.066 mV

답

ε = 1.066 mV

9.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.3831 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.05 = 15.71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·22·10⁻⁶) = 144.7 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−129)²) = 130.5 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 50/130.5 = 0.3831 A

답

I = 0.3831 A

10.교류 임피던스와 페이저

답: B = 795.8 Hz

공진 주파수

f₀ = 1/(2π·√(0.002·0.022·10⁻⁶)) = 23994 Hz

선택도

Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0.002/(0.022·10⁻⁶)) = 30.15

대역폭

B = f₀/Q = 23994/30.15 = 795.8 Hz

답

B = 795.8 Hz

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