정역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

벡터: 내적과 외적

크기: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
단위 벡터: û = a/|a|
각도에서 성분 구하기: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
내적: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a를 b 위에 투영한 스칼라 투영: a·b/|b|
일: W = F·d
외적: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
넓이: 평행사변형 |a × b|, 삼각형 ½|a × b|
O에 대한 모멘트: M_O = r × F, r = A − O
평행육면체의 부피: V = |a·(b × c)|

방법

모든 벡터를 성분으로 쓰세요. 크기와 각도로 주어진 힘은 F·cos θ와 F·sin θ를 쓰세요.
길이와 방향에는 크기 √(x² + y² + z²)와 단위 벡터 a/|a|를 쓰세요.
각도, 투영, 수직 여부, 일에는 내적을 쓰세요: a·b = |a||b|cos θ.
수직 벡터, 넓이, 모멘트에는 외적을 쓰세요. 세 성분을 조심스럽게 쓰고 순서 a × b를 지키세요.

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

프레임과 기계

각 부재의 평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
2력 부재: 두 핀을 잇는 직선을 따르는 힘
핀 힘: 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대
핀 힘의 크기: F = √(F_x² + F_y²)
레버, 펜치, 벨 크랭크: F_in·a = F_out·b
토글: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용

방법

구조 전체를 그리고, 미지수가 3개 이하이면 지점 반력을 구하시오.
2력 부재를 찾으세요: 두 핀에만 하중을 받으므로 그 힘은 두 핀을 잇는 직선을 따릅니다.
프레임을 분해하고 각 부재를 따로 그리세요. 부재가 만나는 곳에서는 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그립니다.
각 부재에 대해 미지의 힘이 작용하는 핀에 대해 모멘트를 취한 다음 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요. 성분은 마지막에 합쳐 크기로 만듭니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2연습 문제

1.벡터: 내적과 외적보통

a = (−7, −6, 3)와 b = (−5, 4, −2)의 내적 a·b을(를) 구하시오.

a = (−7, −6, 3)b = (−5, 4, −2)

a·b =

2.벡터: 내적과 외적어려움

꼭짓점이 A(−1, 1, 3), B(−1, −1, −1), C(0, −3, −2)인 삼각형의 넓이 A을(를) 구하시오. 좌표의 단위는 미터이다.

A(−1, 1, 3)B(−1, −1, −1)C(0, −3, −2)

A = m²

3.보의 지점 반력보통

캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, 벽에서 2.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 연직 반력 R_A을(를) 구하시오.

L = 5 mP = 80 kN 위치 2.5 mw = 8 kN/m, 0부터 5 m까지

R_A = kN

4.보의 지점 반력어려움

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. A에서 3.5 m 떨어진 곳에 수평과 40°를 이루는 하중 P가, A에서 5 m 떨어진 곳에 연직 하중 Q가 작용한다. 힌지 A의 전체 반력 크기 R_A을(를) 구하시오.

L = 6 mP = 65 kN 위치 3.5 m, θ = 40°Q = 50 kN 위치 5 m

R_A = kN

5.트러스: 절점법보통

이 트러스의 부재 하나는 이 하중에서 힘을 받지 않습니다. 영력 부재는 어느 것입니까? 그림에서 클릭하세요.

C: 20 kN ↓D: 35 kN ↓F: 20 kN ↓G: 15 kN ↓H: 30 kN ↓

1부재 AB
2부재 BC
3부재 CD
4부재 DE
5부재 FG
6부재 GH
7부재 AF
8부재 HE
9부재 BF
10부재 CG
11부재 DH
12부재 FC
13부재 HC

6.트러스: 절점법어려움

절점법으로 부재 BC의 부재력 F_BC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 3 mB는 A에서 6 m연직 하중 = 35 kN수평 하중 = 10 kN →

F_BC = kN

7.프레임과 기계보통

그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 3 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 지면 위 3 m, A의 오른쪽 1.35 m에 있습니다. 부재 AB 위의 K에 15 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 0.3375 m 떨어져 있습니다. 부재 BC의 힘 F_BC을(를) 구하시오.

P = 15 kNL = 3 mH = 3 mA에서 B까지의 수평 거리 = 1.35 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.3375 m

F_BC = kN

8.프레임과 기계어려움

그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 4 m입니다. 두 다리는 높이 4.5 m의 핀 C에서 만나고, 높이 2 m의 수평 막대 DE로 묶여 있습니다. C에 오른쪽으로 향하는 4 kN의 수평 힘이 작용합니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.

P = 4 kNAB = 4 mC의 높이 = 4.5 mDE의 높이 = 2 m

T = kN

9.전단력과 휨 모멘트보통

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P₁, C에 집중 하중 P₂이 작용한다. 지점 B 바로 왼쪽의 전단력 V_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 8 mP₁ = 30 kN 위치 1 mP₂ = 55 kN 위치 8 mx = 0과 x = 6 m에 지점

V_x = kN

10.전단력과 휨 모멘트어려움

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2.5 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 사이의 최대 정(正) 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 7.5 mw = 5 kN/m, 0부터 7.5 m까지x = 0과 x = 5 m에 지점

M_max = kN·m

11.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 20 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ_위의 크기를 구하시오.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmM = 20 kN·m

σ_위 = MPa

3용액

1.벡터: 내적과 외적

답: a·b = 5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

대응하는 성분끼리 곱하여 더하기

a·b = (−7)·(−5) + (−6)·4 + 3·(−2) = 35 + (−24) + (−6) = 5

답

a·b = 5

양수: 두 벡터 사이의 각도가 90°보다 작습니다.

2.벡터: 내적과 외적

답: A = 3.742 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

변 벡터

AB = B − A = (0, −2, −4)

AC = C − A = (1, −4, −5)

외적

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−2)·(−5) − (−4)·(−4) = −6

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−4)·1 − 0·(−5) = −4

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 0·(−4) − (−2)·1 = 2

|AB × AC| = √((−6)² + (−4)² + 2²) = 7.483

삼각형의 넓이

A = ½·7.483 = 3.742 m²

답

A = 3.742 m²

3.보의 지점 반력

답: R_A = 120 kN

캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 R_A와 반력 모멘트 M_A를 줍니다. ΣF_y = 0에서 R_A가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 M_A = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.

분포 하중의 합력

W = 8·5 = 40 kN, x̄ = 2.5 m

연직 방향 평형

R_A = P + W = 80 + 40 = 120 kN

답

R_A = 120 kN

4.보의 지점 반력

답: R_A = 56.05 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

P의 성분

P_v = 65·sin 40° = 41.78 kN

P_h = 65·cos 40° = 49.79 kN

반력

ΣM_A = 0: R_B·6 = 41.78·3.5 + 50·5 → R_B = 66.04 kN

A_y = 41.78 + 50 − 66.04 = 25.74 kN

A_x = P_h = 49.79 kN

A의 합력

R_A = √(49.79² + 25.74²) = 56.05 kN

답

R_A = 56.05 kN

5.트러스: 절점법

답: 부재 BF

영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.

절점 B

AB과 BC은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 BF만 남습니다.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

절점법으로 확인하기

모든 절점을 풀면 다음 부재력이 나옵니다(T = 인장, C = 압축).

AB: 65 kN (T), BC: 65 kN (T), CD: 95 kN (T), DE: 95 kN (T), FG: 103.3 kN (C), GH: 103.3 kN (C), AF: 81.25 kN (C), HE: 118.7 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 47.92 kN (T), HC: 10.42 kN (T)

답

영력 부재: BF

6.트러스: 절점법

답: F_BC = −36.06 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·6 + 10·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 30 = 5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30/0.8321 = −36.06 kN

답

F_BC = −36.06 kN (압축)

7.프레임과 기계

답: F_BC = 1.926 kN

프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.

2력 부재 BC

BC = √(1.65² + 3²) = 3.424 m

프레임 전체: A에 대한 모멘트

지면은 C에서 CB를 따라 BC를 밉니다. 그 수평 성분은 A를 지나므로 수직 성분만 모멘트를 가집니다.

F_BC·(3/3.424)·3 = 15·0.3375

F_BC = 1.926 kN (압축)

답

F_BC = 1.926 kN

8.프레임과 기계

답: T = 3.6 kN

프레임 전체: A에 대한 모멘트

B_y·4 = 4·4.5

B_y = 4.5 kN

다리 BC: C에 대한 모멘트

4.5·2 = T·2.5

T = 3.6 kN

답

T = 3.6 kN

T가 양수이면 타이는 가정한 대로 인장을 받습니다.

9.전단력과 휨 모멘트

답: V_x = −23.33 kN

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·1 + 55·8

R_B = 470/6 = 78.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 78.33 = 6.667 kN

B 바로 왼쪽에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다

V_x = R_A − P₁ = 6.667 − 30 = −23.33 kN

답

V_x = −23.33 kN

10.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 8.789 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·7.5 = 37.5 kN, 작용점 x̄ = 3.75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·7.5·3.75

R_B = 140.6/5 = 28.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37.5 − 28.13 = 9.375 kN

전단력 0

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 9.375/5 = 1.875 m

최대 정모멘트

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 9.375²/(2·5) = 8.789 kN·m

답

M_max = 8.789 kN·m

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 94.38 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292.5 mm

웨브: A_w = 18·280 = 5040 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·292.5 + 5040·140)/10540 = 219.6 mm

평행축 정리

플랜지: 220·25³/12 + 5500·(292.5 − 219.6)² = 2.953 × 10⁷ mm⁴

웨브: 18·280³/12 + 5040·(140 − 219.6)² = 6.484 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.953 × 10⁷ + 6.484 × 10⁷ = 9.438 × 10⁷ mm⁴ = 94.38 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 94.38 × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_위 = 24.27 MPa

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

웨브: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·275 + 5200·130)/9400 = 194.8 mm

평행축 정리

플랜지: 140·30³/12 + 4200·(275 − 194.8)² = 2.734 × 10⁷ mm⁴

웨브: 20·260³/12 + 5200·(130 − 194.8)² = 5.112 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.734 × 10⁷ + 5.112 × 10⁷ = 7.846 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 290 − 194.8 = 95.21 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·95.21/7.846 × 10⁷ = 24.27 MPa

답

σ_위 = 24.27 MPa

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