정역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

벡터: 내적과 외적

크기
|a| = √(ax² + ay² + az²)
단위 벡터
û = a/|a|
각도에서 성분 구하기
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
내적
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a를 b 위에 투영한 스칼라 투영
a·b/|b|
일
W = F·d
외적
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
넓이
평행사변형 |a × b|, 삼각형 ½|a × b|
O에 대한 모멘트
MO = r × F, r = A − O
평행육면체의 부피
V = |a·(b × c)|

방법

  1. 모든 벡터를 성분으로 쓰세요. 크기와 각도로 주어진 힘은 F·cos θ와 F·sin θ를 쓰세요.
  2. 길이와 방향에는 크기 √(x² + y² + z²)와 단위 벡터 a/|a|를 쓰세요.
  3. 각도, 투영, 수직 여부, 일에는 내적을 쓰세요: a·b = |a||b|cos θ.
  4. 수직 벡터, 넓이, 모멘트에는 외적을 쓰세요. 세 성분을 조심스럽게 쓰고 순서 a × b를 지키세요.

보의 지점 반력

평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d

방법

  1. 자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
  2. 모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
  3. 한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
  4. ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

  1. 트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
  2. 절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
  3. 단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
  4. 인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

프레임과 기계

각 부재의 평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
2력 부재
두 핀을 잇는 직선을 따르는 힘
핀 힘
연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대
핀 힘의 크기
F = √(Fx² + Fy²)
레버, 펜치, 벨 크랭크
Fin·a = Fout·b
토글
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용

방법

  1. 구조 전체를 그리고, 미지수가 3개 이하이면 지점 반력을 구하시오.
  2. 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에만 하중을 받으므로 그 힘은 두 핀을 잇는 직선을 따릅니다.
  3. 프레임을 분해하고 각 부재를 따로 그리세요. 부재가 만나는 곳에서는 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그립니다.
  4. 각 부재에 대해 미지의 힘이 작용하는 핀에 대해 모멘트를 취한 다음 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요. 성분은 마지막에 합쳐 크기로 만듭니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8

방법

  1. 보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
  2. 필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
  3. 전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
  4. 최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2연습 문제

1.벡터: 내적과 외적보통
xyzab

벡터 a = (−3, −4, −1)와 b = (5, k, −5)가 서로 수직이 되는 k의 값을 구하시오.

a = (−3, −4, −1)b = (5, k, −5)
k =
2.벡터: 내적과 외적어려움
xyzrFOA

힘 F = (−20, 40, 50) N이 점 A(0, 2, −4)에 작용한다. 좌표의 단위는 미터이다. 점 O(−1, 0, 3)에 대한 힘의 모멘트의 z성분 Mz을(를) 구하시오.

F = (−20, 40, 50) NA(0, 2, −4) mO(−1, 0, 3) m
Mz = N·m
3.보의 지점 반력보통
P1​ = 35 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​ = ?1.5 m0.5 m3 m

단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RB을(를) 구하시오.

L = 5 mP1 = 35 kN 위치 1.5 mP2 = 20 kN 위치 2 m
RB = kN
4.보의 지점 반력어려움
w = 5 kN/mP = 50 kNABCRB​ = ?3 m2 m3 m2 m

보는 A에 힌지, A에서 8 m 떨어진 B에 롤러가 있고, B에서 자유단 C까지 내밀어져 있다. A에서 3 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가, 5 m에서 10 m의 자유단까지 등분포 하중 w가 작용한다. 위쪽을 양으로 하여 연직 반력 RB을(를) 구하시오.

AB = 8 mAC = 10 mP = 50 kN 위치 3 mw = 5 kN/m, 5부터 10 m까지
RB = kN
5.트러스: 절점법보통
ABCDEFGH10 kN20 kN15 kN20 kN4 × 4 m4 m

이 트러스의 부재 하나는 이 하중에서 힘을 받지 않습니다. 영력 부재는 어느 것입니까? 그림에서 클릭하세요.

B: 10 kN ↓D: 20 kN ↓F: 15 kN ↓H: 20 kN ↓
  1. 1부재 AB
  2. 2부재 BC
  3. 3부재 CD
  4. 4부재 DE
  5. 5부재 FG
  6. 6부재 GH
  7. 7부재 AF
  8. 8부재 HE
  9. 9부재 BF
  10. 10부재 CG
  11. 11부재 DH
  12. 12부재 BG
  13. 13부재 DG
6.트러스: 절점법어려움
ABBCACACB35 kN25 kN4 m3 m3 m

절점법으로 부재 BC의 부재력 FBC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 4 m높이 = 3 mB는 A에서 3 m연직 하중 = 35 kN수평 하중 = 25 kN →
FBC = kN
7.프레임과 기계보통
12 kN4.8 m0.8 m1.6 mABCDE

그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 4.8 m입니다. 두 다리는 높이 2.4 m의 핀 C에서 만나고, 수평 타이 DE는 지면 위 0.8 m에 있습니다. C에 12 kN의 하중이 작용합니다. 핀 C가 다리 BC에 가하는 힘의 크기 C을(를) 구하시오.

P = 12 kNAB = 4.8 mC의 높이 = 2.4 mDE의 높이 = 0.8 m
C = kN
8.프레임과 기계어려움
12 kN3.2 m1.2 m3.3 mABCDE

그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 3.2 m입니다. 두 다리는 높이 4.5 m의 핀 C에서 만나고, 높이 1.2 m의 수평 막대 DE로 묶여 있습니다. C에 오른쪽으로 향하는 12 kN의 수평 힘이 작용합니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.

P = 12 kNAB = 3.2 mC의 높이 = 4.5 mDE의 높이 = 1.2 m
T = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
P1​ = 55 kNP2​ = 10 kNABC1 m5 m1 m

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P1, C에 집중 하중 P2이 작용한다. 하중 P1 아래의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 7 mP1 = 55 kN 위치 1 mP2 = 10 kN 위치 7 mx = 0과 x = 6 m에 지점
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
w = 10 kN/mAB2 m2 m1 m

단순보의 경간 일부에 등분포 하중이 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.

L = 5 mw = 10 kN/m, 2부터 4 m까지
Mmax = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
xD = 140d = 132치수 단위: mm

원형 관의 바깥지름은 D = 140 mm, 안지름은 d = 132 mm이다. 수평 도심축에 대한 회전 반지름 r을(를) 구하시오.

D = 140 mmd = 132 mm
r = mm
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
1802018012xM = 5 kN·m치수 단위: mm

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 5 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.

bf = 180 mmtf = 20 mmtw = 12 mmhw = 180 mmM = 5 kN·m
σ위 = MPa

3용액

1.벡터: 내적과 외적

답: k = −2.5

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

내적이 0

a·b = (−3)·5 + (−4)·k + (−1)·(−5) = 0
−10 + (−4)·k = 0

k 구하기

k = −(−10)/(−4) = −2.5

답

k = −2.5
2.벡터: 내적과 외적

답: Mz = 80 N·m

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

O에서 A로 가는 위치 벡터

r = A − O = (0, 2, −4) − (−1, 0, 3) = (1, 2, −7) m

모멘트 M = r × F

(r × F)x = ryFz − rzFy = 2·50 − (−7)·40 = 380 N·m
(r × F)y = rzFx − rxFz = (−7)·(−20) − 1·50 = 90 N·m
(r × F)z = rxFy − ryFx = 1·40 − 2·(−20) = 80 N·m

요청된 성분

Mz = 80 N·m

답

Mz = 80 N·m
3.보의 지점 반력

답: RB = 18.5 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.

P1​ = 35 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​1.5 m0.5 m3 m

자유물체도

지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·5 = 35·1.5 + 20·2
RB = 92.5/5 = 18.5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 18.5 = 36.5 kN

답

RB = 18.5 kN
4.보의 지점 반력

답: RB = 42.19 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.

분포 하중의 합력

W = 5·5 = 25 kN, x̄ = (5 + 10)/2 = 7.5 m

평형

A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.

ΣMA = 0: RB·8 = 50·3 + 25·7.5
RB = 337.5/8 = 42.19 kN
RA = 75 − 42.19 = 32.81 kN

답

RB = 42.19 kN
5.트러스: 절점법

답: 부재 CG

영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.

절점 C

BC과 CD은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

절점법으로 확인하기

모든 절점을 풀면 다음 부재력이 나옵니다(T = 인장, C = 압축).

AB: 28.75 kN (T), BC: 32.5 kN (T), CD: 32.5 kN (T), DE: 36.25 kN (T), FG: 28.75 kN (C), GH: 36.25 kN (C), AF: 40.66 kN (C), HE: 51.27 kN (C), BF: 13.75 kN (T), CG: 0, DH: 16.25 kN (T), BG: 5.303 kN (C), DG: 5.303 kN (T)

답

영력 부재: CG
6.트러스: 절점법

답: FBC = −47.43 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

ABBCACACB35 kN25 kNAy​Cy​Ax​

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣMA = 0: Cy·4 = 35·3 + 25·3 → Cy = 45 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 45 = −10 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 3/3.162 = 0.9487, cos γ = 1/3.162 = 0.3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −45/0.9487 = −47.43 kN

답

FBC = −47.43 kN (압축)
7.프레임과 기계

답: C = 10.82 kN

프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.

다리 BC로부터 구한 타이 힘

By = 6 kN
T = 6·2.4/1.6 = 9 kN

BC에 작용하는 핀 힘의 성분

Cx = T = 9 kN, Cy = −By = −6 kN

크기

C = √(9² + 6²) = 10.82 kN

답

C = 10.82 kN
8.프레임과 기계

답: T = 8.182 kN

프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.

프레임 전체: A에 대한 모멘트

By·3.2 = 12·4.5
By = 16.88 kN

다리 BC: C에 대한 모멘트

16.88·1.6 = T·3.3
T = 8.182 kN

답

T = 8.182 kN

T가 양수이면 타이는 가정한 대로 인장을 받습니다.

9.전단력과 휨 모멘트

답: Mx = 44.17 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.

지점 반력

보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.

ΣMA = 0: RB·6 = 55·1 + 10·7
RB = 125/6 = 20.83 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 20.83 = 44.17 kN

P1 아래에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다

Mx = RA·1 = 44.17·1 = 44.17 kN·m

답

Mx = 44.17 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트

답: Mmax = 19.2 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

보 전체의 평형.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·2 = 20 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·2·3
RB = 60/5 = 12 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 12 = 8 kN

전단력 0

전단력은 RA에서 시작해 하중이 없는 구간에서는 일정하고, 하중 구간 안에서는 기울기 w로 감소합니다.

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 8/10 = 2.8 m

최대 모멘트

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 8·2.8 − 10·0.8²/2 = 19.2 kN·m

답

Mmax = 19.2 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트

답: r = 48.1 mm

단면 2차 모멘트: 직사각형의 도심축에 대한 값은 I = bh³/12, 밑변에 대한 값은 bh³/3입니다(평행축 정리 I = Ic + A·d²). 구멍은 두 부분이 같은 축을 공유하는 한 그 I를 빼서 처리합니다. 탄성 단면 계수는 S = I/c이며, c는 최외단 섬유까지의 거리입니다. 회전 반지름 r = √(I/A)은 전체 면적이 같은 I를 주게 되는 거리이며, 기둥 좌굴에 쓰입니다.

순단면적과 단면 2차 모멘트

A = π(D² − d²)/4 = 1709 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3.955 × 10⁶ mm⁴

회전 반지름

r = √(I/A) = √(3.955 × 10⁶/1709) = 48.1 mm

답

r = 48.1 mm
12.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ위 = 12.21 MPa

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: Af = 180·20 = 3600 mm², yf = 180 + 20/2 = 190 mm
웨브: Aw = 12·180 = 2160 mm², yw = 180/2 = 90 mm

도심

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·190 + 2160·90)/5760 = 152.5 mm

평행축 정리

플랜지: 180·20³/12 + 3600·(190 − 152.5)² = 5.183 × 10⁶ mm⁴
웨브: 12·180³/12 + 2160·(90 − 152.5)² = 1.427 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.183 × 10⁶ + 1.427 × 10⁷ = 1.945 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 200 − 152.5 = 47.5 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·47.5/1.945 × 10⁷ = 12.21 MPa

답

σ위 = 12.21 MPa

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