그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 3 m이고, 꼭대기 핀 C의 높이는 2.4 m, 수평 타이 DE는 지면 위 0.6 m에 있습니다. 다리 AC 위의 K에 15 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 0.9 m 떨어져 있습니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.
P = 15 kNAB = 3 mC의 높이 = 2.4 mDE의 높이 = 0.6 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.9 m
T = kN
8.프레임과 기계어려움
무게 3 kN의 균일한 수평 붐 AB가 A에서 벽에 핀으로 연결되어 있고, 끝 B에서 A보다 2.5 m 위의 벽의 점 C까지 케이블로 지지됩니다. B에 15 kN의 하중이 매달려 있습니다. 케이블의 장력 T을(를) 구하시오.
W = 15 kNWb = 3 kNAB = 2.5 mAC = 2.5 m
T = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
60 kN @ 2 m30 kN @ 4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
10.전단력과 휨 모멘트어려움
표시점 A부터 G는 보를 같은 여섯 부분으로 나눕니다. 어느 표시점에서 굽힘 모멘트의 크기가 가장 큽니까(정이든 부이든)? 그림에서 클릭하세요.
55 kN @ 0 m35 kN @ 6 m30 kN @ 3 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
150 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 30 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 90 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 150 mmh = 150 mmd = 30 mm구멍 중심: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 5 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
내적이 0
a·b = (−5)·k + (−5)·(−5) + (−6)·6 = 0
−11 + (−5)·k = 0
k 구하기
k = −(−11)/(−5) = −2.2
답
k = −2.2
2.벡터: 내적과 외적
답: (a × b)x = 26
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
성분별로 구하는 외적
(a × b)x = aybz − azby = 6·5 − 1·4 = 26
(a × b)y = azbx − axbz = 1·3 − (−4)·5 = 23
(a × b)z = axby − aybx = (−4)·4 − 6·3 = −34
요청된 성분
(a × b)x = 26
답
(a × b)x = 26
확인: a × b는 두 벡터에 모두 수직이므로, a 및 b와의 내적이 0입니다.
3.보의 지점 반력
답: RA = 34 kN
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
분포 하중의 합력
W = 4·6 = 24 kN, x̄ = 3 m
연직 방향 평형
RA = P + W = 10 + 24 = 34 kN
답
RA = 34 kN
4.보의 지점 반력
답: MA = 403 kN·m
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
삼각형 하중의 합력
W = ½·12·8 = 48 kN
x̄ = L/3 = 2.667 m
벽에 대한 모멘트
MA = W·x̄ + P·a = 48·2.667 + 55·5 = 403 kN·m
답
MA = 403 kN·m
5.트러스: 절점법
답: 부재 DH
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 D
CD과 DE은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 DH만 남습니다.
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
프레임 전체: A에 대한 모멘트
By = 15·0.9/3 = 4.5 kN
다리 BC: C에 대한 모멘트
4.5·1.5 = T·1.8
T = 3.75 kN
답
T = 3.75 kN
8.프레임과 기계
답: T = 23.33 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
케이블 각도
BC = √(2.5² + 2.5²) = 3.536 m, sin β = 0.7071
A에 대한 모멘트
T·0.7071·2.5 = 15·2.5 + 3·1.25
T = 23.33 kN
답
T = 23.33 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: C (x = 2 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 50 kN, R2 = 40 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = 50, MC = 100 kN·m, MD = 90, ME = 80, MF = 40, MG = 0
답
표시점 C: MC = 100 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: E (x = 4 m)
가장 큰 굽힘 모멘트: M은 전단력이 바뀌는 곳마다 기울기가 바뀌므로, 그 최댓값은 전단력이 0을 지나는 곳에 있습니다: 집중 하중 아래, 분포 하중 안, 또는 내민 보의 지점 위. 캔틸레버의 고정 지점에서는 모멘트가 벽에서 가장 큽니다. 그곳들의 M의 크기를 비교하세요, 정(+)이든 부(−)이든.
지점 반력
한 지점에 대해 모멘트를 취한 다음 수직 힘의 평형을 쓰세요.
R1 = 60 kN, R2 = 60 kN
모든 표시점에서의 굽힘 모멘트
절단면 한쪽의 모든 힘의 모멘트를 합하세요. 정(+)굽힘이 양수, 부(−)굽힘이 음수입니다.
MA = 0, MB = −55, MC = −50, MD = −45, ME = −70 kN·m, MF = −35, MG = 0
답
표시점 E: ME = −70 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 41.98 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (22500·75 − 706.9·90)/(22500 − 706.9) = 74.51 mm
ȳ에 대한 전체 판
150·150³/12 + 22500·0.4865² = 42.19 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·30⁴/64 + 706.9·15.49² = 0.2093 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 41.98 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 41.98 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: σ위 = 22.18 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 120·10 = 1200 mm², yf = 220 + 10/2 = 225 mm