모든 벡터를 성분으로 쓰세요. 크기와 각도로 주어진 힘은 F·cos θ와 F·sin θ를 쓰세요.
길이와 방향에는 크기 √(x² + y² + z²)와 단위 벡터 a/|a|를 쓰세요.
각도, 투영, 수직 여부, 일에는 내적을 쓰세요: a·b = |a||b|cos θ.
수직 벡터, 넓이, 모멘트에는 외적을 쓰세요. 세 성분을 조심스럽게 쓰고 순서 a × b를 지키세요.
보의 지점 반력
평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트
M = F·d
방법
자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣFy = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.
트러스: 절점법
절점법
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
단면법
ΣM = 0 about a cut point
부재력
양수 = 인장, 음수 = 압축
방법
트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.
프레임과 기계
각 부재의 평형
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
2력 부재
두 핀을 잇는 직선을 따르는 힘
핀 힘
연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대
핀 힘의 크기
F = √(Fx² + Fy²)
레버, 펜치, 벨 크랭크
Fin·a = Fout·b
토글
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
등분포 하중
합력 w·L이 하중 중앙에 작용
방법
구조 전체를 그리고, 미지수가 3개 이하이면 지점 반력을 구하시오.
2력 부재를 찾으세요: 두 핀에만 하중을 받으므로 그 힘은 두 핀을 잇는 직선을 따릅니다.
프레임을 분해하고 각 부재를 따로 그리세요. 부재가 만나는 곳에서는 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그립니다.
각 부재에 대해 미지의 힘이 작용하는 핀에 대해 모멘트를 취한 다음 ΣFx = 0과 ΣFy = 0을 쓰세요. 성분은 마지막에 합쳐 크기로 만듭니다.
전단력과 휨 모멘트
전단력과 휨모멘트
V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력
σ = M·y/I
직사각형
I = bh³/12
단면 계수
W = I/ymax
단순 지지, 등분포 하중
Mmax = wL²/8
방법
보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.
도심과 단면 2차 모멘트
도심
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
직사각형
I = bh³/12
평행축 정리
I = Ic + A·d²
합성 단면
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2연습 문제
1.벡터: 내적과 외적보통
벡터 a = (−4, 6, 0)와 b = (6, −4, 6) 사이의 각도 θ을(를) 도(°) 단위로 구하시오.
a = (−4, 6, 0)b = (6, −4, 6)
θ = °
2.벡터: 내적과 외적어려움
한 꼭짓점에서 나오는 모서리가 a = (−2, 3, −4), b = (2, 2, 1), c = (0, −5, −4)인 평행육면체의 부피 V을(를) 구하시오.
a = (−2, 3, −4)b = (2, 2, 1)c = (0, −5, −4)
V =
3.보의 지점 반력보통
단순보는 A에 힌지, B에 롤러 지점이 있다. 연직 지점 반력 RA을(를) 구하시오.
L = 6 mP1 = 40 kN 위치 4.5 mP2 = 60 kN 위치 5 m
RA = kN
4.보의 지점 반력어려움
캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 벽에서 0이고 자유단 B에서 20 kN/m로 증가하는 선형 분포 하중과, 벽에서 2 m 떨어진 곳의 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 반력 모멘트 크기 MA을(를) 구하시오.
L = 4 mw0 = 20 kN/mP = 30 kN 위치 2 m
MA = kN·m
5.트러스: 절점법보통
이 트러스의 부재 하나는 이 하중에서 힘을 받지 않습니다. 영력 부재는 어느 것입니까? 그림에서 클릭하세요.
B: 15 kN ↓F: 15 kN ↓
1부재 AB
2부재 BC
3부재 CD
4부재 DE
5부재 FG
6부재 GH
7부재 AF
8부재 HE
9부재 BF
10부재 CG
11부재 DH
12부재 BG
13부재 DG
6.트러스: 절점법어려움
이 트러스의 부재 하나는 이 하중에서 힘을 받지 않습니다. 영력 부재는 어느 것입니까? 그림에서 클릭하세요.
D: 30 kN ↓H: 35 kN ↓H: 35 kN ←
1부재 AB
2부재 BC
3부재 CD
4부재 DE
5부재 FG
6부재 GH
7부재 AF
8부재 HE
9부재 BF
10부재 CG
11부재 DH
12부재 BG
13부재 DG
7.프레임과 기계보통
그림의 벨 크랭크는 핀 O를 중심으로 회전합니다. A(O에서 100 mm)의 80 N 수직 힘이 B(O보다 60 mm 위)의 수평 힘과 평형을 이룹니다. 핀 반력의 크기 FO을(를) 구하시오.
F = 80 NOA = 100 mmOB = 60 mm
FO = N
8.프레임과 기계어려움
그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 8 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 높이 2.5 m, A의 오른쪽 4.8 m에 있습니다. 부재 AB는 A에서 (수평으로) 1.92 m 떨어진 K에서 12 kN의 수직 하중을 받고, B에서는 오른쪽으로 향하는 10 kN의 수평 하중이 부재 AB에 작용합니다. A의 수평 반력 Ax의 크기를 구하시오.
P = 12 kNQ = 10 kNL = 8 mH = 2.5 mA에서 B까지의 수평 거리 = 4.8 mA에서 K까지의 수평 거리 = 1.92 m
Ax = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 2 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 1 m인 단면에서 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 2.5 mP = 15 kN 위치 2 mw = 12 kN/m, 0부터 2.5 m까지x = 1 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 2 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 8 mP = 50 kN 위치 2 mw = 4 kN/m, 0부터 8 m까지x = 2 m
Mx = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 120 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 25 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ위의 크기를 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
내적
a·b = (−4)·6 + 6·(−4) + 0·6 = −48
크기들
|a| = √((−4)² + 6² + 0²) = 7.211
|b| = √(6² + (−4)² + 6²) = 9.381
위상각
cos θ = −48/(7.211·9.381) = −0.7096
θ = arccos(−0.7096) = 135.2°
답
θ = 135.2°
2.벡터: 내적과 외적
답: V = 70
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
외적 b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 2·(−4) − 1·(−5) = −3
(b × c)y = bzcx − bxcz = 1·0 − 2·(−4) = 8
(b × c)z = bxcy − bycx = 2·(−5) − 2·0 = −10
a와의 내적
a·(b × c) = (−2)·(−3) + 3·8 + (−4)·(−10) = 70
V = |70| = 70
답
V = 70
3.보의 지점 반력
답: RA = 20 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·6 = 40·4.5 + 60·5
RB = 480/6 = 80 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 80 = 20 kN
답
RA = 20 kN
4.보의 지점 반력
답: MA = 166.7 kN·m
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
삼각형 하중의 합력
W = ½·20·4 = 40 kN
x̄ = 2L/3 = 2.667 m
벽에 대한 모멘트
MA = W·x̄ + P·a = 40·2.667 + 30·2 = 166.7 kN·m
답
MA = 166.7 kN·m
5.트러스: 절점법
답: 부재 CG
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 C
BC과 CD은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 C
BC과 CD은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
B에서의 힘
Q = 80·100/60 = 133.3 N
핀 반력
Ox = 133.3 N, Oy = 80 N
FO = √(133.3² + 80²) = 155.5 N
답
FO = 155.5 N
8.프레임과 기계
답: Ax = 2.314 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
BC의 방향
BC = 4.061 m, cos = 0.788, sin = 0.6156
프레임 전체: A에 대한 모멘트
FBC·0.6156·8 = 12·1.92 + 10·2.5
FBC = 9.754 kN
수평 평형
Ax + 10 − 9.754·0.788 = 0
Ax = −2.314 kN → |Ax| = 2.314 kN
답
Ax = 2.314 kN
음의 부호는 Ax가 왼쪽을 향한다는 뜻입니다.
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −28.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −15·1 = −15 kN·m
w: −12·1.5²/2 = −13.5 kN·m
Mx = −15 − 13.5 = −28.5 kN·m
답
Mx = −28.5 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 99 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, 작용점 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·2 + 4·8·4
RB = 228/8 = 28.5 kN
ΣFy = 0: RA = 82 − 28.5 = 53.5 kN
x = 2 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 53.5·2 − 4·2·1 = 99 kN·m
답
Mx = 99 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 106.5 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 120·30 = 3600 mm², yf = 300 + 30/2 = 315 mm