이 트러스의 부재 하나는 이 하중에서 힘을 받지 않습니다. 영력 부재는 어느 것입니까? 그림에서 클릭하세요.
B: 15 kN ↓D: 35 kN ↓F: 30 kN ↓F: 30 kN →
1부재 AB
2부재 BC
3부재 CD
4부재 DE
5부재 FG
6부재 GH
7부재 AF
8부재 HE
9부재 BF
10부재 CG
11부재 DH
12부재 BG
13부재 DG
7.프레임과 기계보통
그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 3 m입니다. 두 다리는 높이 2.5 m의 핀 C에서 만나고, 수평 타이 DE는 지면 위 0.8 m에 있습니다. C에 10 kN의 하중이 작용합니다. 핀 C가 다리 BC에 가하는 힘의 크기 C을(를) 구하시오.
P = 10 kNAB = 3 mC의 높이 = 2.5 mDE의 높이 = 0.8 m
C = kN
8.프레임과 기계어려움
그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 4 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 높이 2 m, A의 오른쪽 1.8 m에 있습니다. 부재 AB는 A에서 (수평으로) 1.08 m 떨어진 K에서 8 kN의 수직 하중을 받고, B에서는 오른쪽으로 향하는 2 kN의 수평 하중이 부재 AB에 작용합니다. A의 수평 반력 Ax의 크기를 구하시오.
P = 8 kNQ = 2 kNL = 4 mH = 2 mA에서 B까지의 수평 거리 = 1.8 mA에서 K까지의 수평 거리 = 1.08 m
Ax = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P1, C에 집중 하중 P2이 작용한다. 하중 P1 아래의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 7 mP1 = 60 kN 위치 4.5 mP2 = 20 kN 위치 7 mx = 0과 x = 6 m에 지점
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 B에서의 휨 모멘트 MB을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 6 mw = 12 kN/m, 0부터 6 m까지x = 0과 x = 4 m에 지점
MB = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 200 mmtf = 25 mmtw = 10 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 25 kN·m을(를) 받는다. 아래 가장자리의 휨 응력 σ아래을(를) 구하시오.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
내적
a·b = (−7)·(−4) + (−1)·6 + 1·5 = 27
b의 길이
|b| = √((−4)² + 6² + 5²) = 8.775
스칼라 투영
compb a = a·b/|b| = 27/8.775 = 3.077
답
compb a = 3.077
2.벡터: 내적과 외적
답: A = 7.228 m²
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·10 = 60·3 + 55·4
RB = 400/10 = 40 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 40 = 75 kN
답
RA = 75 kN
4.보의 지점 반력
답: RA = 18 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, 작용점 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 30·2.5 + 10·1·3.5
RB = 110/5 = 22 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 22 = 18 kN
답
RA = 18 kN
5.트러스: 절점법
답: 부재 CG
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 G
FG과 GH은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 C
BC과 CD은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
다리 BC로부터 구한 타이 힘
By = 5 kN
T = 5·1.5/1.7 = 4.412 kN
BC에 작용하는 핀 힘의 성분
Cx = T = 4.412 kN, Cy = −By = −5 kN
크기
C = √(4.412² + 5²) = 6.668 kN
답
C = 6.668 kN
8.프레임과 기계
답: Ax = 1.476 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
BC의 방향
BC = 2.973 m, cos = 0.7399, sin = 0.6727
프레임 전체: A에 대한 모멘트
FBC·0.6727·4 = 8·1.08 + 2·2
FBC = 4.698 kN
수평 평형
Ax + 2 − 4.698·0.7399 = 0
Ax = 1.476 kN → |Ax| = 1.476 kN
답
Ax = 1.476 kN
Ax는 오른쪽을 향합니다.
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 52.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.
ΣMA = 0: RB·6 = 60·4.5 + 20·7
RB = 410/6 = 68.33 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 68.33 = 11.67 kN
P1 아래에서 자르고 왼쪽 부분을 남긴다
Mx = RA·4.5 = 11.67·4.5 = 52.5 kN·m
답
Mx = 52.5 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: MB = −24 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 12·6 = 72 kN, 작용점 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 12·6·3
RB = 216/4 = 54 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 54 = 18 kN
B에서 자르고 내민 부분을 남긴다
내민 부분의 하중 w·a는 B에서 a/2인 곳에 작용하며, 지점 위에서 보를 위로 볼록하게 휩니다(부모멘트).
MB = −w·a²/2 = −12·2²/2 = −24 kN·m
답
MB = −24 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 40.25 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 200·25 = 5000 mm², yf = 240 + 25/2 = 252.5 mm