그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 2 m이고, 꼭대기 핀 C의 높이는 3 m, 수평 타이 DE는 지면 위 1 m에 있습니다. 다리 AC 위의 K에 20 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 0.6 m 떨어져 있습니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.
P = 20 kNAB = 2 mC의 높이 = 3 mDE의 높이 = 1 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.6 m
T = kN
8.프레임과 기계어려움
토글 프레스에 핀 사이 길이가 각각 150 mm인 같은 링크 AB와 BC가 있습니다. 이음부 B는 선 AC 위 10 mm에 있습니다. 슬라이더 C에서 4000 N의 수평 압력을 내려면 B에 가하는 아래 방향 힘 F은(는) 얼마여야 합니까? 마찰과 자중은 무시합니다.
Q = 4000 NAB = BC = 150 mmh = 10 mm
F = N
9.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 3 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 1.5 m인 단면에서 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 3 mP = 35 kN 위치 3 mw = 5 kN/m, 0부터 3 m까지x = 1.5 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 경간 일부에 등분포 하중이 작용한다. A에서 휨 모멘트가 가장 큰 단면까지의 거리 x0을(를) 구하시오.
L = 5 mw = 4 kN/m, 2부터 5 m까지
x0 = m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 240 mmtf = 15 mmtw = 8 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
120 mm × 240 mm 판에 폭 60 mm, 높이 30 mm의 직사각형 절취부가 수직 중심선 위에 있고 그 중심은 아래에서 156 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 120 mmh = 240 mm절취부: 60 × 30 mm구멍 중심: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3용액
1.벡터: 내적과 외적
답: θ = 150.9 °
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
내적
a·b = (−1)·4 + (−3)·6 + 6·(−5) = −52
크기들
|a| = √((−1)² + (−3)² + 6²) = 6.782
|b| = √(4² + 6² + (−5)²) = 8.775
위상각
cos θ = −52/(6.782·8.775) = −0.8737
θ = arccos(−0.8737) = 150.9°
답
θ = 150.9°
2.벡터: 내적과 외적
답: n̂y = −0.5711
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
A에 대한 모멘트
반시계 방향을 양으로.
ΣMA = 0: RB·3 = 45·0.5 + 25·4
RB = 122.5/3 = 40.83 kN
연직 방향 평형
RA = 45 + 25 − 40.83 = 29.17 kN
답
RA = 29.17 kN
4.보의 지점 반력
답: MA = 107 kN·m
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
삼각형 하중의 합력
W = ½·6·4 = 12 kN
x̄ = 2L/3 = 2.667 m
벽에 대한 모멘트
MA = W·x̄ + P·a = 12·2.667 + 25·3 = 107 kN·m
답
MA = 107 kN·m
5.트러스: 절점법
답: FAC = 12 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·5 = 30·4 → Cy = 24 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 24 = 6 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·8 = 10·5 − 5·3 → Cy = 4.375 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 4.375 = 5.625 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 3/5.831 = 0.5145
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −5.625/0.5145 = −10.93 kN
답
FAB = −10.93 kN (압축)
7.프레임과 기계
답: T = 3 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
프레임 전체: A에 대한 모멘트
By = 20·0.6/2 = 6 kN
다리 BC: C에 대한 모멘트
6·1 = T·2
T = 3 kN
답
T = 3 kN
8.프레임과 기계
답: F = 534.5 N
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
링크 각
sin θ = 10/150 = 0.06667, θ = 3.823°
링크 힘
Flink = Q/cos θ = 4009 N
B에서의 힘
F = 2·Flink·sin θ = 2·4000·tan θ = 534.5 N
답
F = 534.5 N
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −58.13 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −35·1.5 = −52.5 kN·m
w: −5·1.5²/2 = −5.625 kN·m
Mx = −52.5 − 5.625 = −58.13 kN·m
답
Mx = −58.13 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
10.전단력과 휨 모멘트
답: x0 = 2.9 m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, 작용점 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 4·3·3.5
RB = 42/5 = 8.4 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 8.4 = 3.6 kN
전단력 0
전단력은 RA에서 시작해 하중이 없는 구간에서는 일정하고, 하중 구간 안에서는 기울기 w로 감소합니다.
RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 3.6/4 = 2.9 m
답
x0 = 2.9 m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 4.673 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
두 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
플랜지: Af = 240·15 = 3600 mm², yf = 120 + 15/2 = 127.5 mm
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (28800·120 − 1800·156)/(28800 − 1800) = 117.6 mm