정역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

벡터: 내적과 외적

크기: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
단위 벡터: û = a/|a|
각도에서 성분 구하기: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
내적: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a를 b 위에 투영한 스칼라 투영: a·b/|b|
일: W = F·d
외적: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
넓이: 평행사변형 |a × b|, 삼각형 ½|a × b|
O에 대한 모멘트: M_O = r × F, r = A − O
평행육면체의 부피: V = |a·(b × c)|

방법

모든 벡터를 성분으로 쓰세요. 크기와 각도로 주어진 힘은 F·cos θ와 F·sin θ를 쓰세요.
길이와 방향에는 크기 √(x² + y² + z²)와 단위 벡터 a/|a|를 쓰세요.
각도, 투영, 수직 여부, 일에는 내적을 쓰세요: a·b = |a||b|cos θ.
수직 벡터, 넓이, 모멘트에는 외적을 쓰세요. 세 성분을 조심스럽게 쓰고 순서 a × b를 지키세요.

보의 지점 반력

평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용
모멘트: M = F·d

방법

자유물체도를 그리고 각 지점을 반력으로 바꾸세요.
모든 분포 하중을 그 도심에 작용하는 하나의 집중 하중으로 바꾸세요.
한 지점에 대한 모멘트를 취해 다른 지점의 반력을 구하세요.
ΣF_y = 0으로 나머지 반력을 구하고, 두 번째 모멘트 방정식으로 확인하세요.

트러스: 절점법

절점법: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
단면법: ΣM = 0 about a cut point
부재력: 양수 = 인장, 음수 = 압축

방법

트러스 전체의 지점 반력을 구하세요.
절점법: 미지 부재력이 둘 이하인 절점에서 시작하여 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요.
단면법: 필요한 부재를 지나도록 자르고, 나머지 미지 부재들이 만나는 점에 대해 모멘트를 취하세요.
인장으로 가정하세요. 답이 음수이면 압축입니다.

프레임과 기계

각 부재의 평형: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
2력 부재: 두 핀을 잇는 직선을 따르는 힘
핀 힘: 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대
핀 힘의 크기: F = √(F_x² + F_y²)
레버, 펜치, 벨 크랭크: F_in·a = F_out·b
토글: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
등분포 하중: 합력 w·L이 하중 중앙에 작용

방법

구조 전체를 그리고, 미지수가 3개 이하이면 지점 반력을 구하시오.
2력 부재를 찾으세요: 두 핀에만 하중을 받으므로 그 힘은 두 핀을 잇는 직선을 따릅니다.
프레임을 분해하고 각 부재를 따로 그리세요. 부재가 만나는 곳에서는 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그립니다.
각 부재에 대해 미지의 힘이 작용하는 핀에 대해 모멘트를 취한 다음 ΣF_x = 0과 ΣF_y = 0을 쓰세요. 성분은 마지막에 합쳐 크기로 만듭니다.

전단력과 휨 모멘트

전단력과 휨모멘트: V = 한쪽의 ΣF, M = 한쪽의 ΣF·d
휨 응력: σ = M·y/I
직사각형: I = bh³/12
단면 계수: W = I/y_max
단순 지지, 등분포 하중: M_max = wL²/8

방법

보 전체의 평형에서 지점 반력을 구하세요.
필요한 단면에서 보를 자르고 한쪽만 남기세요.
전단력: 그쪽에 작용하는 연직력의 합. 굽힘 모멘트: 절단면에 대한 그 힘들의 모멘트 합.
최대 모멘트는 전단력이 0인 곳에서 찾으세요.

도심과 단면 2차 모멘트

도심: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
직사각형: I = bh³/12
평행축 정리: I = I_c + A·d²
합성 단면: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2연습 문제

1.벡터: 내적과 외적보통

a = (−5, 3, 7)를 b = (1, 1, −1) 위에 투영한 스칼라 투영 comp_b a, 즉 a의 b 방향 성분을 구하시오.

a = (−5, 3, 7)b = (1, 1, −1)

comp_b a =

2.벡터: 내적과 외적어려움

단위 벡터 n̂은(는) a = (−4, 4, 1)와 b = (4, 4, 2)에 모두 수직이고 z성분이 양수이다. 그 y성분 n̂_y을(를) 구하시오.

a = (−4, 4, 1)b = (4, 4, 2)n̂_z > 0

n̂_y =

3.보의 지점 반력보통

캔틸레버 보는 A에서 벽에 고정되어 있다. 벽에서 5 m까지 등분포 하중 w가 작용하고, 벽에서 8 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 벽의 반력 모멘트 크기 M_A을(를) 구하시오.

L = 8 mP = 65 kN 위치 8 mw = 3 kN/m, 0부터 5 m까지

M_A = kN·m

4.보의 지점 반력어려움

겔버보는 A에서 벽에 고정되어 있고, C(A에서 3 m)에 내부 힌지가 있으며, D(A에서 8 m)의 롤러 위에 놓여 있다. 하중은 A에서 6 m 떨어진 곳의 집중 하중 P 그리고 A에서 1 m 떨어진 곳의 집중 하중 Q이다. 롤러의 반력 R_D을(를) 구하시오.

AC = 3 mAD = 8 mP = 65 kN 위치 6 mQ = 65 kN 위치 1 m

R_D = kN

5.트러스: 절점법보통

절점법으로 부재 AC의 부재력 F_AC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 4 m높이 = 2 mB는 A에서 3 m연직 하중 = 15 kN

F_AC = kN

6.트러스: 절점법어려움

절점법으로 부재 BC의 부재력 F_BC을(를) 구하시오. 인장은 양, 압축은 음으로 답한다.

경간 = 8 m높이 = 4 mB는 A에서 1 m연직 하중 = 45 kN수평 하중 = 25 kN →

F_BC = kN

7.프레임과 기계보통

그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 3 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 지면 위 4 m, A의 오른쪽 1.35 m에 있습니다. 부재 AB 위의 K에 15 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 0.81 m 떨어져 있습니다. 부재 BC의 힘 F_BC을(를) 구하시오.

P = 15 kNL = 3 mH = 4 mA에서 B까지의 수평 거리 = 1.35 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.81 m

F_BC = kN

8.프레임과 기계어려움

토글 프레스에 핀 사이 길이가 각각 100 mm인 같은 링크 AB와 BC가 있습니다. 이음부 B는 선 AC 위 15 mm에 있습니다. 슬라이더 C에서 5000 N의 수평 압력을 내려면 B에 가하는 아래 방향 힘 F은(는) 얼마여야 합니까? 마찰과 자중은 무시합니다.

Q = 5000 NAB = BC = 100 mmh = 15 mm

F = N

9.전단력과 휨 모멘트보통

단순보의 A에서 x = 1 m인 곳에 시계 방향 우력 M₀ = 25 kN·m이(가) 작용하며, 다른 하중은 없다. 우력 바로 오른쪽의 휨 모멘트 M_x을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.

L = 6 mM₀ = 25 kN·m 시계 방향, 위치 1 m

M_x = kN·m

10.전단력과 휨 모멘트어려움

보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 사이의 최대 정(正) 휨 모멘트 M_max을(를) 구하시오.

L = 7 mw = 2 kN/m, 0부터 7 m까지x = 0과 x = 6 m에 지점

M_max = kN·m

11.도심과 단면 2차 모멘트보통

T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 I_x을(를) 구하시오.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트어려움

T형 단면을 플랜지가 위로 가도록 보로 사용하며, 양의 휨 모멘트 5 kN·m을(를) 받는다. 위 가장자리의 휨 응력 σ_위의 크기를 구하시오.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 280 mmM = 5 kN·m

σ_위 = MPa

3용액

1.벡터: 내적과 외적

답: comp_b a = −5.196

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

내적

a·b = (−5)·1 + 3·1 + 7·(−1) = −9

b의 길이

|b| = √(1² + 1² + (−1)²) = 1.732

스칼라 투영

comp_b a = a·b/|b| = −9/1.732 = −5.196

답

comp_b a = −5.196

음수: a는 b와 반대 방향의 성분을 가집니다.

2.벡터: 내적과 외적

답: n̂_y = −0.3487

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

외적

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·2 − 1·4 = 4

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·4 − (−4)·2 = 12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·4 − 4·4 = −32

정규화

a × b의 z성분이 음수이므로 −(a × b)를 사용하세요.

|a × b| = √(4² + 12² + (−32)²) = 34.41

n̂ = −(4, 12, −32)/34.41 = (−0.1162, −0.3487, 0.93)

n̂_y = −0.3487

답

n̂_y = −0.3487

3.보의 지점 반력

답: M_A = 557.5 kN·m

캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 R_A와 반력 모멘트 M_A를 줍니다. ΣF_y = 0에서 R_A가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 M_A = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.

분포 하중의 합력

W = 3·5 = 15 kN, x̄ = 2.5 m

벽에 대한 모멘트

M_A = P·a + W·x̄ = 65·8 + 15·2.5 = 557.5 kN·m

답

M_A = 557.5 kN·m

4.보의 지점 반력

답: R_D = 39 kN

정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요. 내부 힌지는 휨 모멘트를 전달할 수 없으므로 방정식이 하나 더 생깁니다. 어느 한쪽의 힘들의 힌지에 대한 모멘트는 0입니다.

CD 부분

힌지에는 모멘트가 없으므로 CD만의 C에 대한 모멘트가 평형을 이루어야 합니다.

ΣM_C = 0: R_D·5 = 65·3

R_D = 39 kN

V_C = 65 − 39 = 26 kN

답

R_D = 39 kN

5.트러스: 절점법

답: F_AC = 5.625 kN

절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·3 → C_y = 11.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 11.25 = 3.75 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −11.25/0.8944 = −12.58 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−12.58)·0.4472 = 5.625 kN

답

F_AC = 5.625 kN (인장)

6.트러스: 절점법

답: F_BC = −36.53 kN

지점 반력

트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·1 + 25·4 → C_y = 18.13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 18.13 = 26.88 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

절점 C

롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.

sin γ = 4/8.062 = 0.4961, cos γ = 7/8.062 = 0.8682

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18.13/0.4961 = −36.53 kN

답

F_BC = −36.53 kN (압축)

7.프레임과 기계

답: F_BC = 4.381 kN

프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.

2력 부재 BC

BC = √(1.65² + 4²) = 4.327 m

프레임 전체: A에 대한 모멘트

지면은 C에서 CB를 따라 BC를 밉니다. 그 수평 성분은 A를 지나므로 수직 성분만 모멘트를 가집니다.

F_BC·(4/4.327)·3 = 15·0.81

F_BC = 4.381 kN (압축)

답

F_BC = 4.381 kN

8.프레임과 기계

답: F = 1517 N

기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, F_in·a = F_out·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.

링크 각

sin θ = 15/100 = 0.15, θ = 8.627°

링크 힘

F_link = Q/cos θ = 5057 N

B에서의 힘

F = 2·F_link·sin θ = 2·5000·tan θ = 1517 N

답

F = 1517 N

9.전단력과 휨 모멘트

답: M_x = 20.83 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 작용하는 우력은 휨 모멘트도를 우력의 크기만큼 급변시킵니다.

지점 반력

A에 대한 모멘트, 반시계 방향을 양으로: R_B·L − M₀ = 0. 연직 평형: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 25/6 = 4.167 kN (위쪽)

R_A = −R_B = −4.167 kN (아래쪽)

우력 바로 오른쪽에서 자른다

이제 왼쪽 부분에는 R_A와 우력이 포함됩니다.

M_x = R_A·a + M₀ = −4.167·1 + 25 = 20.83 kN·m

답

M_x = 20.83 kN·m

10.전단력과 휨 모멘트

답: M_max = 8.507 kN·m

단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.

지점 반력

내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.

분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 2·7 = 14 kN, 작용점 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·7·3.5

R_B = 49/6 = 8.167 kN

ΣF_y = 0: R_A = 14 − 8.167 = 5.833 kN

전단력 0

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 5.833/2 = 2.917 m

최대 정모멘트

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 5.833²/(2·2) = 8.507 kN·m

답

M_max = 8.507 kN·m

11.도심과 단면 2차 모멘트

답: I_x = 74.02 × 10⁶ mm⁴

조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307.5 mm

웨브: A_w = 18·300 = 5400 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·307.5 + 5400·150)/7200 = 189.4 mm

평행축 정리

플랜지: 120·15³/12 + 1800·(307.5 − 189.4)² = 2.515 × 10⁷ mm⁴

웨브: 18·300³/12 + 5400·(150 − 189.4)² = 4.887 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.515 × 10⁷ + 4.887 × 10⁷ = 7.402 × 10⁷ mm⁴ = 74.02 × 10⁶ mm⁴

답

I_x = 74.02 × 10⁶ mm⁴

12.도심과 단면 2차 모멘트

답: σ_위 = 3.642 MPa

두 직사각형으로 나누기

모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.

플랜지: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 280 + 30/2 = 295 mm

웨브: A_w = 16·280 = 4480 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

도심

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·295 + 4480·140)/12280 = 238.5 mm

평행축 정리

플랜지: 260·30³/12 + 7800·(295 − 238.5)² = 2.553 × 10⁷ mm⁴

웨브: 16·280³/12 + 4480·(140 − 238.5)² = 7.269 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.553 × 10⁷ + 7.269 × 10⁷ = 9.822 × 10⁷ mm⁴

휨 응력

위 가장자리는 축에서 h − ȳ 떨어져 있습니다.

y = 310 − 238.5 = 71.55 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·71.55/9.822 × 10⁷ = 3.642 MPa

답

σ_위 = 3.642 MPa

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