그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 3.2 m이고, 꼭대기 핀 C의 높이는 2.5 m, 수평 타이 DE는 지면 위 0.8 m에 있습니다. 다리 AC 위의 K에 8 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 1.2 m 떨어져 있습니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.
P = 8 kNAB = 3.2 mC의 높이 = 2.5 mDE의 높이 = 0.8 mA에서 K까지의 수평 거리 = 1.2 m
T = kN
8.프레임과 기계어려움
그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 2.4 m이고, 꼭대기 핀 C의 높이는 4 m, 수평 타이 DE는 지면 위 1.8 m에 있습니다. 다리 AC 위의 K에 5 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 0.72 m 떨어져 있습니다. 핀 C가 다리 BC에 가하는 힘의 크기 C을(를) 구하시오.
P = 5 kNAB = 2.4 mC의 높이 = 4 mDE의 높이 = 1.8 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.72 m
C = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1.5 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P1, C에 집중 하중 P2이 작용한다. 지점 B에서의 휨 모멘트 MB을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 6.5 mP1 = 65 kN 위치 3 mP2 = 45 kN 위치 6.5 mx = 0과 x = 5 m에 지점
MB = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 2.5 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 사이의 최대 정(正) 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 7.5 mw = 5 kN/m, 0부터 7.5 m까지x = 0과 x = 5 m에 지점
Mmax = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
200 mm × 300 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 40 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 105 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 200 mmh = 300 mmd = 40 mm구멍 중심: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
용접 I형 단면의 상부 플랜지는 180 × 12 mm, 웨브는 높이 150 mm, 두께 8 mm, 하부 플랜지는 300 × 22 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
내적
a·b = (−3)·0 + (−3)·4 + (−2)·(−4) = −4
b의 길이
|b| = √(0² + 4² + (−4)²) = 5.657
스칼라 투영
compb a = a·b/|b| = −4/5.657 = −0.7071
답
compb a = −0.7071
음수: a는 b와 반대 방향의 성분을 가집니다.
2.벡터: 내적과 외적
답: V = 96
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
외적 b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 0·2 − 4·0 = 0
(b × c)y = bzcx − bxcz = 4·4 − (−4)·2 = 24
(b × c)z = bxcy − bycx = (−4)·0 − 0·4 = 0
a와의 내적
a·(b × c) = 5·0 + (−4)·24 + 1·0 = −96
V = |−96| = 96
답
V = 96
3.보의 지점 반력
답: RB = 37.5 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
A에 대한 모멘트
반시계 방향을 양으로.
ΣMA = 0: RB·8 − 40·7 − 20 = 0
RB = 300/8 = 37.5 kN
연직 방향 평형
RA = 40 − 37.5 = 2.5 kN
답
RB = 37.5 kN
음의 반력은 아래로 작용합니다.
4.보의 지점 반력
답: MA = 668.3 kN·m
캔틸레버의 평형: 고정 지점은 위로 밀 수 있고 회전에도 저항하므로 연직 반력 RA와 반력 모멘트 MA를 줍니다. ΣFy = 0에서 RA가 나오고, 벽에 대한 모멘트에서 MA = Σ(하중 × 벽으로부터의 거리)가 나옵니다. 분포 하중은 하중도의 도심에 작용하는 합력으로 작용합니다.
삼각형 하중의 합력
W = ½·20·8 = 80 kN
x̄ = L/3 = 2.667 m
벽에 대한 모멘트
MA = W·x̄ + P·a = 80·2.667 + 65·7 = 668.3 kN·m
답
MA = 668.3 kN·m
5.트러스: 절점법
답: FAB = −7.071 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 15·4 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 10 = 5 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −5/0.7071 = −7.071 kN
답
FAB = −7.071 kN (압축)
6.트러스: 절점법
답: FBC = −25 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·8 = 40·5 − 10·4 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 20 = 20 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
프레임 전체: A에 대한 모멘트
By = 8·1.2/3.2 = 3 kN
다리 BC: C에 대한 모멘트
3·1.6 = T·1.7
T = 2.824 kN
답
T = 2.824 kN
8.프레임과 기계
답: C = 1.709 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
B의 지점 반력
By = 5·0.72/2.4 = 1.5 kN
타이 힘
T = 1.5·1.2/2.2 = 0.8182 kN
BC에 작용하는 핀 힘
Cx = 0.8182 kN, Cy = −1.5 kN
C = √(0.8182² + 1.5²) = 1.709 kN
답
C = 1.709 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: MB = −67.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.
ΣMA = 0: RB·5 = 65·3 + 45·6.5
RB = 487.5/5 = 97.5 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 97.5 = 12.5 kN
B에서 자르고 내민 부분을 남긴다
내민 부분에는 P2만 작용하며 모멘트 팔은 a입니다. 이 하중은 지점 위에서 보를 위로 볼록하게 휩니다(부모멘트).
MB = −P2·a = −45·1.5 = −67.5 kN·m
답
MB = −67.5 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 8.789 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
내민 부분의 하중을 포함한 보 전체의 평형입니다.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·7.5 = 37.5 kN, 작용점 x̄ = 3.75 m
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (60000·150 − 1257·105)/(60000 − 1257) = 151 mm
ȳ에 대한 전체 판
200·300³/12 + 60000·−0.9626² = 450.1 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·40⁴/64 + 1257·−45.96² = 2.78 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 447.3 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 447.3 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 50.05 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
세 개의 직사각형으로 나누기
모든 y는 아래 가장자리에서 잽니다.
상부 플랜지: A = 2160 mm², y = 178 mm
웨브: A = 1200 mm², y = 97 mm
하부 플랜지: A = 6600 mm², y = 11 mm
도심
ȳ = (2160·178 + 1200·97 + 6600·11)/9960 = 57.58 mm