그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 5 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 지면 위 2 m, A의 오른쪽 1.5 m에 있습니다. 부재 AB 위의 K에 5 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 0.6 m 떨어져 있습니다. 부재 BC의 힘 FBC을(를) 구하시오.
P = 5 kNL = 5 mH = 2 mA에서 B까지의 수평 거리 = 1.5 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.6 m
FBC = kN
8.프레임과 기계어려움
그림의 프레임에는 A, B, C에 핀이 있습니다. A와 C는 6 m 떨어져 지면에 고정되어 있고, B는 높이 2 m, A의 오른쪽 1.8 m에 있습니다. 부재 AB는 A에서 (수평으로) 0.45 m 떨어진 K에서 20 kN의 수직 하중을 받고, B에서는 오른쪽으로 향하는 2 kN의 수평 하중이 부재 AB에 작용합니다. A의 수평 반력 Ax의 크기를 구하시오.
P = 20 kNQ = 2 kNL = 6 mH = 2 mA에서 B까지의 수평 거리 = 1.8 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.45 m
Ax = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
지점 A에서 x = 4 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mw = 3 kN/m, 0부터 5 m까지x = 4 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 전체 길이 A–C에 등분포 하중 w가 작용한다. 지점 사이의 최대 정(正) 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 7 mw = 12 kN/m, 0부터 7 m까지x = 0과 x = 6 m에 지점
Mmax = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
150 mm × 200 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 30 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 140 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mm구멍 중심: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
대칭 I형 단면의 플랜지는 폭 190 mm, 두께 10 mm이고, 전체 높이는 260 mm, 웨브 두께는 6 mm이다. 축 x에 대해 휨 모멘트 120 kN·m을(를) 받는다. 단면의 최대 휨 응력 크기 σmax을(를) 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
내적
a·b = (−2)·0 + 5·6 + (−6)·(−1) = 36
크기들
|a| = √((−2)² + 5² + (−6)²) = 8.062
|b| = √(0² + 6² + (−1)²) = 6.083
위상각
cos θ = 36/(8.062·6.083) = 0.7341
θ = arccos(0.7341) = 42.77°
답
θ = 42.77°
2.벡터: 내적과 외적
답: V = 25
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
외적 b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 1·1 − 0·1 = 1
(b × c)y = bzcx − bxcz = 0·(−2) − 4·1 = −4
(b × c)z = bxcy − bycx = 4·1 − 1·(−2) = 6
a와의 내적
a·(b × c) = (−1)·1 + (−5)·(−4) + 1·6 = 25
V = |25| = 25
답
V = 25
3.보의 지점 반력
답: RA = 25.83 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·6 = 25·3 + 40·4
RB = 235/6 = 39.17 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 39.17 = 25.83 kN
답
RA = 25.83 kN
4.보의 지점 반력
답: RA = 3.571 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
분포 하중의 합력
W = 6·6 = 36 kN, x̄ = (4 + 10)/2 = 7 m
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·7 = 25·6 + 36·7
RB = 402/7 = 57.43 kN
RA = 61 − 57.43 = 3.571 kN
답
RA = 3.571 kN
5.트러스: 절점법
답: FBC = −25.16 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·4 = 30·3 → Cy = 22.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 22.5 = 7.5 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 10·4 − 20·3 → Cy = −3.333 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − −3.333 = 13.33 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −13.33/0.6 = −22.22 kN
답
FAB = −22.22 kN (압축)
7.프레임과 기계
답: FBC = 1.209 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
2력 부재 BC
BC = √(3.5² + 2²) = 4.031 m
프레임 전체: A에 대한 모멘트
지면은 C에서 CB를 따라 BC를 밉니다. 그 수평 성분은 A를 지나므로 수직 성분만 모멘트를 가집니다.
FBC·(2/4.031)·5 = 5·0.6
FBC = 1.209 kN (압축)
답
FBC = 1.209 kN
8.프레임과 기계
답: Ax = 2.55 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
BC의 방향
BC = 4.652 m, cos = 0.9029, sin = 0.4299
프레임 전체: A에 대한 모멘트
FBC·0.4299·6 = 20·0.45 + 2·2
FBC = 5.04 kN
수평 평형
Ax + 2 − 5.04·0.9029 = 0
Ax = 2.55 kN → |Ax| = 2.55 kN
답
Ax = 2.55 kN
Ax는 오른쪽을 향합니다.
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 6 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 3·5·2.5
RB = 37.5/5 = 7.5 kN
ΣFy = 0: RA = 15 − 7.5 = 7.5 kN
x = 4 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 7.5·4 − 3·4·2 = 6 kN·m
답
Mx = 6 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 51.04 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (30000·100 − 706.9·140)/(30000 − 706.9) = 99.03 mm
ȳ에 대한 전체 판
150·200³/12 + 30000·0.9652² = 100 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·30⁴/64 + 706.9·40.97² = 1.226 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 98.8 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 98.8 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: σmax = 235.2 MPa
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
바깥 직사각형 빼기 양옆의 빈 부분 두 개
두 빈 부분을 합치면 폭 (B − tw), 높이 hw = H − 2tf이며, 축 x를 공유합니다.