이 트러스의 부재 하나는 이 하중에서 힘을 받지 않습니다. 영력 부재는 어느 것입니까? 그림에서 클릭하세요.
F: 25 kN ↓G: 35 kN ↓H: 15 kN ↓H: 25 kN ←
1부재 AB
2부재 BC
3부재 CD
4부재 DE
5부재 FG
6부재 GH
7부재 AF
8부재 HE
9부재 BF
10부재 CG
11부재 DH
12부재 BG
13부재 DG
7.프레임과 기계보통
그림의 토글 클램프에서 같은 길이의 두 링크 AB와 BC가 B에서 핀으로 연결되어 있고, 각각 선 AC와 25°를 이룹니다. B에 250 N의 아래 방향 힘이 가해집니다. 슬라이더 C가 공작물을 누릅니다. 마찰과 자중을 무시하고 수평 조임력 Q을(를) 구하시오.
F = 250 Nθ = 25°
Q = N
8.프레임과 기계어려움
토글 프레스에 핀 사이 길이가 각각 200 mm인 같은 링크 AB와 BC가 있습니다. 이음부 B는 선 AC 위 5 mm에 있습니다. 슬라이더 C에서 2500 N의 수평 압력을 내려면 B에 가하는 아래 방향 힘 F은(는) 얼마여야 합니까? 마찰과 자중은 무시합니다.
Q = 2500 NAB = BC = 200 mmh = 5 mm
F = N
9.전단력과 휨 모멘트보통
보는 A의 힌지와 B의 롤러 위에 놓여 있고, B에서 자유단 C까지 1 m만큼 내밀어져 있다. 지점 사이에 집중 하중 P1, C에 집중 하중 P2이 작용한다. 지점 B에서의 휨 모멘트 MB을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mP1 = 55 kN 위치 1 mP2 = 55 kN 위치 5 mx = 0과 x = 4 m에 지점
MB = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
지점 A에서 x = 1.5 m인 단면의 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mP = 10 kN 위치 1.5 mw = 5 kN/m, 0부터 5 m까지x = 1.5 m
Mx = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
100 mm × 150 mm 판의 수직 중심선 위에 지름 40 mm의 원형 구멍이 있고 그 중심은 아래에서 97.5 mm 위에 있습니다. 도심을 지나는 수평축에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 100 mmh = 150 mmd = 40 mm구멍 중심: y = 97.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 40 MPa, 압축 90 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 부(負) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오(크기로 답하시오).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
내적
a·b = 6·1 + 4·(−2) + 4·(−1) = −6
크기들
|a| = √(6² + 4² + 4²) = 8.246
|b| = √(1² + (−2)² + (−1)²) = 2.449
위상각
cos θ = −6/(8.246·2.449) = −0.297
θ = arccos(−0.297) = 107.3°
답
θ = 107.3°
2.벡터: 내적과 외적
답: A = 25.24
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
외적
(a × b)x = aybz − azby = 0·(−5) − (−3)·6 = 18
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·1 − (−2)·(−5) = −13
(a × b)z = axby − aybx = (−2)·6 − 0·1 = −12
면적
A = |a × b| = √(18² + (−13)² + (−12)²) = 25.24
답
A = 25.24
3.보의 지점 반력
답: RA = 55 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·5 = 25·1 + 50·1.5
RB = 100/5 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 20 = 55 kN
답
RA = 55 kN
4.보의 지점 반력
답: RD = 41.25 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요. 내부 힌지는 휨 모멘트를 전달할 수 없으므로 방정식이 하나 더 생깁니다. 어느 한쪽의 힘들의 힌지에 대한 모멘트는 0입니다.
CD 부분
힌지에는 모멘트가 없으므로 CD만의 C에 대한 모멘트가 평형을 이루어야 합니다.
ΣMC = 0: RD·4 = 55·3
RD = 41.25 kN
VC = 55 − 41.25 = 13.75 kN
답
RD = 41.25 kN
5.트러스: 절점법
답: FAB = −42.52 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·4 = 55·1 → Cy = 13.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 13.75 = 41.25 kN
절점 A
모든 부재가 인장(절점에서 멀어지는 방향으로 당김)이라고 가정합니다. A에서 연직 성분이 있는 것은 AB뿐입니다.
sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −41.25/0.9701 = −42.52 kN
답
FAB = −42.52 kN (압축)
6.트러스: 절점법
답: 부재 CG
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 C
BC과 CD은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 CG만 남습니다.
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
핀 B의 평형
2·Flink·sin 25° = 250
Flink = 295.8 N
조임력
Q = Flink·cos 25° = 250/(2·tan 25°) = 268.1 N
답
Q = 268.1 N
링크가 펴질수록 힘의 비 Q/F = 1.072는 한없이 커집니다.
8.프레임과 기계
답: F = 125 N
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
링크 각
sin θ = 5/200 = 0.025, θ = 1.433°
링크 힘
Flink = Q/cos θ = 2501 N
B에서의 힘
F = 2·Flink·sin θ = 2·2500·tan θ = 125 N
답
F = 125 N
9.전단력과 휨 모멘트
답: MB = −55 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형입니다. 내민 부분의 하중도 A에 대해 모멘트를 만듭니다.
ΣMA = 0: RB·4 = 55·1 + 55·5
RB = 330/4 = 82.5 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 82.5 = 27.5 kN
B에서 자르고 내민 부분을 남긴다
내민 부분에는 P2만 작용하며 모멘트 팔은 a입니다. 이 하중은 지점 위에서 보를 위로 볼록하게 휩니다(부모멘트).
MB = −P2·a = −55·1 = −55 kN·m
답
MB = −55 kN·m
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = 23.63 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 10·1.5 + 5·5·2.5
RB = 77.5/5 = 15.5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 15.5 = 19.5 kN
x = 1.5 m에서 자르고 왼쪽 부분을 남기기
절단면 왼쪽의 힘만 고려합니다. 분포 하중의 일부는 그 부분 중앙에 작용하는 하나의 힘으로 봅니다.
M = RA·x − (절단면 왼쪽의 각 하중 × 절단면까지의 거리)
Mx = 19.5·1.5 − 5·1.5·0.75 = 23.63 kN·m
답
Mx = 23.63 kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 27.3 × 10⁶ mm⁴
구멍이 있는 단면: 구멍은 음의 넓이로 취급합니다. 도심은 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)이며, A₁, y₁은 구멍이 없는 전체 판, A₂, y₂는 구멍의 값입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분에 평행축 정리를 쓰고 구멍을 뺍니다: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²). 여기서 d는 각 부분 자신의 도심에서 ȳ를 지나는 축까지의 거리입니다. 직사각형은 Ic = bh³/12, 원은 Ic = πd⁴/64입니다.
도심
ȳ = (15000·75 − 1257·97.5)/(15000 − 1257) = 72.94 mm
ȳ에 대한 전체 판
100·150³/12 + 15000·2.057² = 28.19 × 10⁶ mm⁴
ȳ에 대한 구멍
π·40⁴/64 + 1257·24.56² = 0.8835 × 10⁶ mm⁴
빼기
Ix = 27.3 × 10⁶ mm⁴
답
Ix = 27.3 × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트
답: Mallow = 11.22 kN·m
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.