그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 4 m이고, 꼭대기 핀 C의 높이는 3.6 m, 수평 타이 DE는 지면 위 0.8 m에 있습니다. 다리 AC 위의 K에 6 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 0.8 m 떨어져 있습니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.
P = 6 kNAB = 4 mC의 높이 = 3.6 mDE의 높이 = 0.8 mA에서 K까지의 수평 거리 = 0.8 m
T = kN
8.프레임과 기계어려움
토글 프레스에 핀 사이 길이가 각각 150 mm인 같은 링크 AB와 BC가 있습니다. 이음부 B는 선 AC 위 12 mm에 있습니다. 슬라이더 C에서 1500 N의 수평 압력을 내려면 B에 가하는 아래 방향 힘 F은(는) 얼마여야 합니까? 마찰과 자중은 무시합니다.
Q = 1500 NAB = BC = 150 mmh = 12 mm
F = N
9.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 1.5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 x = 0.5 m인 단면에서 휨 모멘트 Mx을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 3 mP = 45 kN 위치 1.5 mw = 2 kN/m, 0부터 3 m까지x = 0.5 m
Mx = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 전체 경간에 등분포 하중 w가 작용하고 집중 하중 P도 작용한다. 보의 최대 휨 모멘트 Mmax을(를) 구하시오.
L = 8 mP = 50 kN 위치 3 mw = 4 kN/m, 0부터 8 m까지
Mmax = kN·m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
T형 단면의 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
bf = 140 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 100 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
주철 보는 그림과 같은 T형 단면이며 플랜지가 위에 있다. 허용 응력은 인장 40 MPa, 압축 120 MPa이다. 보가 견딜 수 있는 최대 정(正) 휨 모멘트 Mallow을(를) 구하시오.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
내적이 0
a·b = (−5)·0 + (−3)·k + (−2)·(−3) = 0
6 + (−3)·k = 0
k 구하기
k = −6/(−3) = 2
답
k = 2
2.벡터: 내적과 외적
답: (a × b)z = 45
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
성분별로 구하는 외적
(a × b)x = aybz − azby = 4·1 − (−3)·5 = 19
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·(−5) − 5·1 = 10
(a × b)z = axby − aybx = 5·5 − 4·(−5) = 45
요청된 성분
(a × b)z = 45
답
(a × b)z = 45
확인: a × b는 두 벡터에 모두 수직이므로, a 및 b와의 내적이 0입니다.
3.보의 지점 반력
답: RB = 21.25 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 한 지점에 대한 모멘트를 취하면 그 지점의 반력이 식에서 사라집니다.
자유물체도
지점을 반력으로 바꿉니다. 롤러는 연직 반력 하나를 줍니다. 연직 하중만 있으면 힌지도 연직 반력 하나를 줍니다.
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·4 = 15·1.5 + 25·2.5
RB = 85/4 = 21.25 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 21.25 = 18.75 kN
답
RB = 21.25 kN
4.보의 지점 반력
답: α = 56.86 °
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
P의 성분
Pv = 70·sin 45° = 49.5 kN
Ph = 70·cos 45° = 49.5 kN
반력
ΣMA = 0: RB·10 = 49.5·6 + 70·2 → RB = 43.7 kN
Ay = 49.5 + 70 − 43.7 = 75.8 kN
Ax = Ph = 49.5 kN
A에서의 방향
α = atan(Ay/Ax) = atan(75.8/49.5) = 56.86°
답
α = 56.86°
5.트러스: 절점법
답: FBC = −8.004 kN
절점법: 트러스의 모든 절점은 평형 상태이므로 각 절점에서 ΣFx = 0, ΣFy = 0입니다. 미지 부재력이 두 개 이하인 절점부터 시작하세요. 결과가 음수이면 그 부재는 압축입니다.
지점 반력
트러스 전체의 평형. A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양.
ΣMA = 0: Cy·6 = 30·1 → Cy = 5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 5 = 25 kN
절점 C
롤러는 연직 반력만 주므로 절점 C의 미지 부재력은 두 개뿐입니다. 둘 다 인장이라고 가정합니다.
sin γ = 4/6.403 = 0.6247, cos γ = 5/6.403 = 0.7809
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
프레임 전체: A에 대한 모멘트
By = 6·0.8/4 = 1.2 kN
다리 BC: C에 대한 모멘트
1.2·2 = T·2.8
T = 0.8571 kN
답
T = 0.8571 kN
8.프레임과 기계
답: F = 240.8 N
기계: 펜치, 레버, 링크 기구, 클램프는 입력 힘을 더 큰 힘이나 다른 방향의 출력 힘으로 바꿉니다. 한 부품을 자유물체로 그리고 회전축에 대해 모멘트를 취하세요: 핀 힘은 사라지고, Fin·a = Fout·b에서 기계적 이득 a/b가 나옵니다. 핀 힘은 같은 부품에 ΣF = 0을 적용하면 구해집니다. 토글에서는 두 링크가 얕은 각 θ로 만납니다. 각 링크는 2력 부재이므로 이음부의 작은 힘 F가 큰 링크 힘 F/(2 sin θ)와 조임력 F/(2 tan θ)를 만듭니다.
링크 각
sin θ = 12/150 = 0.08, θ = 4.589°
링크 힘
Flink = Q/cos θ = 1505 N
B에서의 힘
F = 2·Flink·sin θ = 2·1500·tan θ = 240.8 N
답
F = 240.8 N
9.전단력과 휨 모멘트
답: Mx = −51.25 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −45·1 = −45 kN·m
w: −2·2.5²/2 = −6.25 kN·m
Mx = −45 − 6.25 = −51.25 kN·m
답
Mx = −51.25 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
10.전단력과 휨 모멘트
답: Mmax = 123.8 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.