그림의 A형 프레임은 A의 핀과 B의 롤러 위에 서 있으며 둘 사이는 4 m이고, 꼭대기 핀 C의 높이는 4 m, 수평 타이 DE는 지면 위 1.5 m에 있습니다. 다리 AC 위의 K에 4 kN의 수직 하중이 작용하며 K는 A에서 (수평으로) 1.5 m 떨어져 있습니다. 타이의 장력 T을(를) 구하시오.
P = 4 kNAB = 4 mC의 높이 = 4 mDE의 높이 = 1.5 mA에서 K까지의 수평 거리 = 1.5 m
T = kN
8.프레임과 기계어려움
그림의 벽 브래킷의 보 AB는 A에서 핀으로 연결되어 있고 지주 CD가 받칩니다(C는 A보다 0.6 m 아래). 보는 전체 길이에 걸쳐 1.5 kN/m의 등분포 하중과 자유단 B에 6 kN의 집중 하중을 받습니다. 지주의 힘 FCD을(를) 구하시오.
w = 1.5 kN/mP = 6 kNAD = 1.2 mAB = 3.6 mAC = 0.6 m
FCD = kN
9.전단력과 휨 모멘트보통
캔틸레버는 A에서 고정되어 있다. 전체 길이에 등분포 하중 w가 작용하고, A에서 5 m 떨어진 곳에 집중 하중 P가 작용한다. 고정 지점 A에서 휨 모멘트 MA을(를) 구하시오. 아래쪽이 인장되는 휨 모멘트를 양으로, 왼쪽 면에서 위쪽 전단력을 양으로 한다.
L = 5 mP = 75 kN 위치 5 mw = 3 kN/m, 0부터 5 m까지
MA = kN·m
10.전단력과 휨 모멘트어려움
단순보의 경간 일부에 등분포 하중이 작용한다. A에서 휨 모멘트가 가장 큰 단면까지의 거리 x0을(를) 구하시오.
L = 6 mw = 4 kN/m, 0부터 5 m까지
x0 = m
11.도심과 단면 2차 모멘트보통
ㄷ형강 단면이 열린 쪽을 위로 하여 놓여 있다. 폭 200 mm의 밑판에 두 개의 세운 다리가 있으며 전체 높이는 170 mm이다. 밑판과 다리의 두께는 모두 18 mm이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
b = 200 mmh = 170 mmt = 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.도심과 단면 2차 모멘트어려움
용접 I형 단면의 상부 플랜지는 160 × 24 mm, 웨브는 높이 210 mm, 두께 8 mm, 하부 플랜지는 300 × 10 mm(폭 × 두께)이다. 도심을 지나는 수평축 x에 대한 단면 2차 모멘트 Ix을(를) 구하시오.
내적:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ는 스칼라입니다. 두 벡터 사이의 각도를 cos θ = a·b/(|a|·|b|)로 구할 수 있고, 두 벡터가 수직이면 0입니다. a를 b 위에 투영한 스칼라 투영은 a·b/|b|이며, 일정한 힘 F가 변위 d만큼 움직이는 동안 한 일은 W = F·d입니다.
내적
a·b = 0·(−6) + 5·6 + 5·3 = 45
크기들
|a| = √(0² + 5² + 5²) = 7.071
|b| = √((−6)² + 6² + 3²) = 9
위상각
cos θ = 45/(7.071·9) = 0.7071
θ = arccos(0.7071) = 45°
답
θ = 45°
2.벡터: 내적과 외적
답: (a × b)x = 4
외적:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)는 두 벡터에 모두 수직이고, |a × b| = |a|·|b|·sin θ는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다(삼각형은 그 절반). 순서가 중요합니다: b × a = −(a × b). 점 A에 작용하는 힘 F의 점 O에 대한 모멘트는 MO = r × F이며, r = A − O입니다.
성분별로 구하는 외적
(a × b)x = aybz − azby = 3·2 − (−1)·(−2) = 4
(a × b)y = azbx − axbz = (−1)·1 − 1·2 = −3
(a × b)z = axby − aybx = 1·(−2) − 3·1 = −5
요청된 성분
(a × b)x = 4
답
(a × b)x = 4
확인: a × b는 두 벡터에 모두 수직이므로, a 및 b와의 내적이 0입니다.
3.보의 지점 반력
답: RA = 29.83 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
삼각형 하중의 합력
W = ½·12·6 = 36 kN
x̄ = L/3 = 2 m
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·6 = 36·2 + 35·5
RB = 41.17 kN
RA = 71 − 41.17 = 29.83 kN
답
RA = 29.83 kN
4.보의 지점 반력
답: RA = 30.75 kN
정적 평형: 정지한 물체는 임의의 점에 대해 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 만족합니다. 각 분포 하중을 하중도의 도심에 작용하는 합력(그 넓이)으로 바꾸고, 한 지점에 대한 모멘트를 취해 그 지점의 반력을 식에서 없애세요.
분포 하중의 합력
W = 5·2.5 = 12.5 kN, x̄ = (1.5 + 4)/2 = 2.75 m
평형
A에 대한 모멘트, 반시계 방향이 양. 그다음 연직 방향 힘의 평형.
ΣMA = 0: RB·2.5 = 80·1.5 + 12.5·2.75
RB = 154.4/2.5 = 61.75 kN
RA = 92.5 − 61.75 = 30.75 kN
답
RA = 30.75 kN
5.트러스: 절점법
답: 부재 BF
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 B
AB과 BC은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 BF만 남습니다.
영력 부재: 절점에서는 모든 방향으로 힘이 평형을 이루어야 합니다. 절점에 하중도 지점도 없고 세 부재 중 두 개가 일직선이면, 그 직선에 수직인 방향의 평형에는 세 번째 부재만 관여하므로 그 힘은 0입니다. 하중이 없는 절점에 두 부재만 만나고 일직선이 아니면 둘 다 0입니다.
절점 B
AB과 BC은 한 직선 위에 있고 절점에는 하중이 없습니다. 그 직선에 수직인 방향으로 힘의 평형을 잡으면 BF만 남습니다.
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
프레임 전체: A에 대한 모멘트
By = 4·1.5/4 = 1.5 kN
다리 BC: C에 대한 모멘트
1.5·2 = T·2.5
T = 1.2 kN
답
T = 1.2 kN
8.프레임과 기계
답: FCD = 58.36 kN
프레임과 기계: 트러스와 달리 프레임에는 두 곳보다 많은 지점에서 힘을 받거나 두 핀 사이에 하중을 받는 부재가 적어도 하나 있습니다. 먼저 2력 부재를 찾으세요: 두 핀에서만 하중을 받는 부재는 그 힘이 두 핀을 잇는 직선을 따르므로 미지수가 둘이 아니라 하나만 늘어납니다. 그다음 미지수가 3개 이하이면 구조 전체로 지점 반력을 구합니다. 마지막으로 프레임을 분해합니다: 각 부재를 따로 그리고, 연결된 두 부재에서 크기가 같고 방향이 반대인 핀 힘을 그린 뒤 ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0을 씁니다. 핀에 대해 모멘트를 취하면 그 핀 힘의 두 성분이 모두 식에서 사라집니다.
등분포 하중의 합력
w·L = 1.5·3.6 = 5.4 kN 위치 1.8 m
보: A에 대한 모멘트
FCD·0.4472·1.2 = 5.4·1.8 + 6·3.6 = 31.32 kN·m
FCD = 58.36 kN
답
FCD = 58.36 kN
9.전단력과 휨 모멘트
답: MA = −412.5 kN·m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다.
자유단 쪽 부분을 남긴다
P: −75·5 = −375 kN·m
w: −3·5²/2 = −37.5 kN·m
MA = −375 − 37.5 = −412.5 kN·m
답
MA = −412.5 kN·m
음수는 부모멘트, 즉 윗면이 인장이라는 뜻입니다.
10.전단력과 휨 모멘트
답: x0 = 2.917 m
단면법: 내력을 구하려는 곳에서 보를 자르고 한쪽을 남깁니다. 전단력 V는 그쪽의 연직력과, 휨 모멘트 M은 그 힘들의 절단면에 대한 모멘트와 평형을 이룹니다. 최대 모멘트: dM/dx = V이므로 휨 모멘트는 전단력이 0을 지나는 곳, 즉 집중 하중 위치나 분포 하중 구간 안에서 최대가 됩니다.
지점 반력
보 전체의 평형.
분포 하중의 합력: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, 작용점 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 4·5·2.5
RB = 50/6 = 8.333 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 8.333 = 11.67 kN
전단력 0
전단력은 RA에서 시작해 하중이 없는 구간에서는 일정하고, 하중 구간 안에서는 기울기 w로 감소합니다.
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 11.67/4 = 2.917 m
답
x0 = 2.917 m
11.도심과 단면 2차 모멘트
답: Ix = 26.32 × 10⁶ mm⁴
조합 단면: 단면을 직사각형으로 나눕니다. 도심은 면적 가중 평균 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ입니다. 도심축에 대한 단면 2차 모멘트는 각 부분의 bh³/12와 평행축 항 A·d²(d는 부분 도심과 전체 도심 사이 거리)를 더한 값입니다. 휨 응력은 σ = M·y/I.
직사각형으로 나누기
밑판은 전체 폭으로, 두 다리는 그 위의 높이(h − t)로 잡으면 중복 계산이 없습니다.
기제: A1 = 200·18 = 3600 mm², y1 = 9 mm
두 다리: A2 = 2·18·152 = 5472 mm², y2 = 18 + 152/2 = 94 mm