기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 60, 45, 32, 54, 19, 26.
n = 6
s =
2.기술통계어려움
시험 점수는 평균 170, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 164점의 z점수 z를 구하세요.
μ = 170σ = 5x = 164
z =
3.확률보통
표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.25, 0.25, 0.3
σ =
4.확률어려움
게임 한 판을 하는 데 €3이 듭니다. 확률 0.2로 €9을, 확률 0.05로 €150을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.
건 돈 = €3€9: p = 0.2€150: p = 0.05
E(G) = €
5.정규분포보통
시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 45에서 77.5 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
μ = 65σ = 10x1 = 45x2 = 77.5
P =
6.정규분포어려움
배터리 수명은(는) 평균 500 h, 표준편차 40 h인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 75%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.
μ = 500 hσ = 40 h75%
x = h
7.신뢰구간보통
항목 21개의 표본 평균은 76, 표준편차는 s = 15.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한을 구하세요.
n = 21x̄ = 76s = 15.590%t(20) = 1.725
상한 =
8.신뢰구간어려움
모표준편차는 27입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?
σ = 27E = 290%
n =
9.가설 검정과 신뢰구간보통
직원 6명이 교육 과정 전후에 타자 시험을 본다. 각 사람에 대해 차이 d = 후 − 전(분당 단어 수)을 기록한다. 평균 차이는 7.85, 차이의 표준 편차는 5.2이다. H₀: μd = 0에 대한 대응 검정 통계량 t을(를) 구하시오.
n = 6d̄ = 7.85sd = 5.2
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
H₀: μ = 50 대 H₁: μ < 50의 단측 z 검정을 표본 크기 100, α = 0.01에서 실시한다. 표준 편차는 10로 알려져 있다. 실제 평균은 46.2이다. 제2종 오류의 확률 β을(를) 퍼센트로 구하시오.
μ₀ = 50μ = 46.2σ = 10n = 100α = 0.01
β = %
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선의 결정계수 r²을(를) 구하세요.
n = 6
r² =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 20을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?
n = 5ŷ = 20
x =
3용액
1.기술통계
답: s = 16.24
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 236/6 = 39.33
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 20.67² + 5.667² + (−7.333)² + 14.67² + (−20.33)² + (−13.33)² = 1319
표준편차
s = √(1319/5) = 16.24
답
s = 16.24
2.기술통계
답: z = −1.2
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = (164 − 170)/5 = −1.2
답
z = −1.2
3.확률
답: σ = 1.108
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
평균
μ = 1·0.2 + 2·0.25 + 3·0.25 + 4·0.3 = 2.65
제곱의 평균
E(X²) = 1·0.2 + 4·0.25 + 9·0.25 + 16·0.3 = 8.25
분산
Var(X) = 8.25 − 2.65² = 1.228
σ = √1.228 = 1.108
답
σ = 1.108
4.확률
답: E(G) = 6.3 €
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
순 결과
G: 6 (p = 0.2), 147 (p = 0.05), −3 (p = 0.75)
기댓값
E(G) = 6·0.2 + 147·0.05 − 3·0.75 = 6.3 €
답
E(G) = 6.3 €
양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.
5.정규분포
답: P = 0.8716
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
z점수
z₁ = (45 − 65)/10 = −2
z₂ = (77.5 − 65)/10 = 1.25
사이의 넓이
P = Φ(1.25) − Φ(−2) = 0.8944 − 0.02275 = 0.8716
답
P = 0.8716
6.정규분포
답: x = 527 h
넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.
왼쪽 넓이
Φ(z) = 0.75
표에서 구한 z
z ≈ 0.67
원래 단위로 되돌리기
x = 500 + 0.67·40 = 527 h
답
x = 527 h
7.신뢰구간
답: 상한 = 81.83
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
임계값
df = n − 1 = 20, t = 1.725
오차 한계
E = 1.725·15.5/√21 = 5.835
구간
76 ± 5.835 → [70.17, 81.83]
답
상한 = 81.83
8.신뢰구간
답: n = 494
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = (1.645·27/2)² = 493.2
올림하기
표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.
n = 494
답
n = 494
9.가설 검정과 신뢰구간
답: t = 3.698
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
평균 차이의 표준 오차
SE = 5.2/√6 = 2.123
검정통계량
t = 7.85/2.123 = 3.698
답
t = 3.698
df = 5에서 양측 5% 임곗값은 2.571입니다. |t|가 더 크므로 H₀를 기각합니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: β = 7.024 %
검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
임계 표본 평균
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 50 − 2.326·1 = 47.67
참 평균에서의 z
z = (47.67 − 46.2)/1 = 1.474
제2종 오류
검정력 = P(Z < 1.474) = 92.98%
β = 100% − 92.98% = 7.024%
답
β = 7.024%
11.선형 회귀와 상관
답: r² = 0.9648
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 153/6 = 25.5
ȳ = 390/6 = 65
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 498
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1632
결정계수
r² = 498²/(157.5·1632) = 0.9648
답
r² = 0.9648
y의 변동 중 약 96.48%가 직선으로 설명됩니다.
12.선형 회귀와 상관
답: x = 2.636
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 94/5 = 18.8
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33
회귀직선
b = −33/10 = −3.3
a = 18.8 − (−3.3)·3 = 28.7
ŷ = 28.7 − 3.3·x
x 구하기
x = (20 − 28.7)/(−3.3) = 2.636
답
x = 2.636
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