기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균
x̄ = Σx/n
표본 표준편차
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값
정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수
z = (x − μ)/σ
정규분포
±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건
P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

정규분포

z 점수
z = (x − μ)/σ
x 미만
P(X < x) = Φ(z)
x 초과
P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이
Φ(z2) − Φ(z1)
백분위수
x = μ + z·σ

방법

  1. 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
  2. z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
  3. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
  4. 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때
x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기
n = (z·σ/E)², rounded up

방법

  1. z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
  2. 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
  3. 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
  4. 구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정
|z| > 1.96이면 H0 기각
신뢰구간
x̄ ± z·σ/√n

방법

  1. H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
  2. 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
  3. 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
  4. 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기
b = Sxy/Sxx
절편
a = ȳ − b·x̄
상관계수
r = Sxy/√(SxxSyy)
잔차
e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통
1520253035

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 20, 38, 14, 14, 26.

n = 5
s =
2.기술통계어려움
z −2−1012

어떤 양은 평균 50, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 45보다 작은 값의 비율 P는 얼마일까요?

μ = 50σ = 10x = 45
P =
3.확률보통
xp(x)00.3510.320.0530.3μ = 1.3

표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.3, 0.05, 0.3
σ =
4.확률어려움
€p(x)−30.6830.31470.02

게임 한 판을 하는 데 €3이 듭니다. 확률 0.3로 €6을, 확률 0.02로 €150을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.

건 돈 = €3€6: p = 0.3€150: p = 0.02
E(G) = €
5.정규분포보통
−3−2−10123zz의 오른쪽 색칠한 넓이 = 0.3156

표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.3156이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.

A = 0.3156
z =
6.정규분포어려움
μ = 100x = ?99%

IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 99%가 그 아래에 있는 값 x(99 백분위수)을(를) 구하세요.

μ = 100σ = 15P = 99%
x = 점
7.신뢰구간보통
n = 9, s = 13LUx̄ = 97.5E = ?99%

항목 9개의 표본 평균은 97.5, 표준편차는 s = 13입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 9x̄ = 97.5s = 1399%t(8) = 3.355
E =
8.신뢰구간어려움
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 295%

모표준편차는 20입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 2 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 20E = 295%
n =
9.가설 검정과 신뢰구간보통
t −1.99801.998

학생 64명 표본의 평균 점수는 72.75, 표본 표준편차는 10입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 75x̄ = 72.75s = 10n = 64
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
μ₀x̄c

H₀: μ = 200 대 H₁: μ > 200의 단측 z 검정을 표본 크기 64, α = 0.05에서 실시한다. 표준 편차는 20로 알려져 있다. 실제 평균은 206이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 200μ = 206σ = 20n = 64α = 0.05
1 − β = %
11.선형 회귀와 상관보통
xy140244349457565xy24405060

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 15Σy = 255Σx² = 55Σy² = 13411Σxy = 828
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
xy335554759973118413101xy51050100x = 8

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (8, 65)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.

n = 6(8, 65)
e =

3용액

1.기술통계

답: s = 10.04

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 112/5 = 22.4

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−2.4)² + 15.6² + (−8.4)² + (−8.4)² + 3.6² = 403.2

표준편차

s = √(403.2/4) = 10.04

답

s = 10.04
2.기술통계

답: P = 0.3085

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

표준화하기

z = −0.5

표준정규분포표

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085

답

P = 0.3085
3.확률

답: σ = 1.229

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

평균

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.05 + 3·0.3 = 1.3

제곱의 평균

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.05 + 9·0.3 = 3.2

분산

Var(X) = 3.2 − 1.3² = 1.51
σ = √1.51 = 1.229

답

σ = 1.229
4.확률

답: E(G) = 1.8 €

이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.

순 결과

G: 3 (p = 0.3), 147 (p = 0.02), −3 (p = 0.68)

기댓값

E(G) = 3·0.3 + 147·0.02 − 3·0.68 = 1.8 €

답

E(G) = 1.8 €

양수는 평균적으로 돈을 딴다는 뜻입니다.

5.정규분포

답: z = 0.48

넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.

z의 왼쪽 넓이

Φ(z) = 1 − 0.3156 = 0.6844

z-표를 거꾸로 읽기

표 안에서 0.6844을 찾아 z를 읽으세요.

z = 0.48

답

z = 0.48
6.정규분포

답: x = 134.9 점

정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.

백분위수에 해당하는 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

다시 x로

x = 100 + 2.326·15 = 134.89 점

답

x = 134.89 점
7.신뢰구간

답: E = 14.54

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 8, t = 3.355

오차 한계

E = 3.355·13/√9 = 14.54

답

E = 14.54
8.신뢰구간

답: n = 385

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

n에 대해 풀기

n = (1.96·20/2)² = 384.2

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 385

답

n = 385
9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = −1.8

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 10/√64 = 10/8 = 1.25

검정통계량

t = (72.75 − 75)/1.25 = −1.8

답

t = −1.8
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| < 1.998이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 77.49 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 20/√64 = 2.5
x̄c = 200 + 1.645·2.5 = 204.1

참 평균에서의 z

z = (204.1 − 206)/2.5 = −0.755

전력

검정력 = P(Z > −0.755) = 77.49%
1 − β = 77.49%

답

1 − β = 77.49%
11.선형 회귀와 상관

답: r = 0.9887

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

Sxy = 828 − 15·255/5 = 63
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 13411 − 255²/5 = 406

상관계수

r = 63/√(10·406) = 0.9887

답

r = 0.9887
12.선형 회귀와 상관

답: e = −2.667

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

평균

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 406/6 = 67.67

제곱합과 곱의 합

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 434

회귀직선

b = 434/70 = 6.2
a = 67.67 − 6.2·8 = 18.07
ŷ = 18.07 + 6.2·x

예측값

ŷ = 18.07 + 6.2·8 = 67.67

잔차

e = 65 − 67.67 = −2.667

답

e = −2.667

점이 직선 아래쪽에 있습니다.

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