기초통계학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기술통계

평균: x̄ = Σx/n
표본 표준편차: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
중앙값: 정렬한 데이터의 가운데 값
z 점수: z = (x − μ)/σ
정규분포: ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%

확률

여사건: P(not A) = 1 − P(A)
덧셈 정리: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
독립 사건: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
조건부 확률: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
이항분포: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

정규분포

z 점수: z = (x − μ)/σ
x 미만: P(X < x) = Φ(z)
x 초과: P(X > x) = 1 − Φ(z)
두 값 사이: Φ(z₂) − Φ(z₁)
백분위수: x = μ + z·σ

방법

값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.

신뢰구간

σ를 알 때: x̄ ± z·σ/√n
σ를 모를 때: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
임계 z값: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
표본 크기: n = (z·σ/E)², rounded up

방법

z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
구간: x̄ ± E.

가설 검정과 신뢰구간

평균에 대한 z 검정: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
평균에 대한 t 검정: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
유의수준 5% 양측 검정: |z| > 1.96이면 H₀ 기각
신뢰구간: x̄ ± z·σ/√n

방법

H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.

선형 회귀와 상관

제곱합: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
기울기: b = S_xy/S_xx
절편: a = ȳ − b·x̄
상관계수: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
잔차: e = y − ŷ

2연습 문제

1.기술통계보통

자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 25, 16, 24, 19, 35, 38, 38.

n = 7

s =

2.기술통계어려움

시험 점수는 평균 500, 표준편차 100인 정규분포를 따릅니다. 540점의 z점수 z를 구하세요.

μ = 500σ = 100x = 540

z =

3.확률보통

주머니에 빨간 공 7개와 파란 공 3개가 있습니다. 첫 공을 다시 넣지 않고 두 개를 꺼냅니다. 두 공이 모두 빨간 공일 확률 P는 얼마일까요?

7 / 3

P =

4.확률어려움

부품 9개를 시험하며, 각 부품은 독립적으로 확률 0.1로 고장 납니다. 고장이 많아야 하나일 확률 P는 얼마일까요?

n = 9p = 0.1

P =

5.정규분포보통

X는 평균 12 min, 표준편차 1.5 min인 정규분포를 따르고, Y는 독립이며 평균 20 min, 표준편차 2 min인 정규분포를 따릅니다. X + Y가 29.5 min보다 클 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

μ_X = 12, σ_X = 1.5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 29.5 min

P =

6.정규분포어려움

구멍 지름 D는 평균 25.03 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 축 지름 d는 독립이며 평균 25 mm, 표준편차 0.015 mm인 정규분포를 따릅니다. 무작위로 고른 축은 D − d > 0일 때 끼워집니다. 끼워질 확률 P을(를) 구하시오. z는 소수 둘째 자리로 반올림하시오.

구멍: μ = 25.03 mm, σ = 0.015 mm축: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

7.신뢰구간보통

항목 25개의 표본 평균은 76.5, 표준편차는 s = 8.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계 E을(를) 구하세요.

n = 25x̄ = 76.5s = 8.599%t(24) = 2.797

E =

8.신뢰구간어려움

모표준편차는 36입니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?

σ = 36E = 195%

n =

9.가설 검정과 신뢰구간보통

학생 16명 표본의 평균 점수는 102.1, 표본 표준편차는 4입니다. H₀: μ = 100에 대한 검정통계량 t를 구하세요.

μ₀ = 100x̄ = 102.1s = 4n = 16

t =

10.가설 검정과 신뢰구간어려움

H₀: μ = 50 대 H₁: μ < 50의 단측 z 검정을 표본 크기 100, α = 0.05에서 실시한다. 표준 편차는 5로 알려져 있다. 실제 평균은 49.25이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.

μ₀ = 50μ = 49.25σ = 5n = 100α = 0.05

1 − β = %

11.선형 회귀와 상관보통

표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.

n = 5Σx = 15Σy = 104Σx² = 55Σy² = 2242Σxy = 285

r =

12.선형 회귀와 상관어려움

표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 31을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?

n = 6ŷ = 31

x =

3용액

1.기술통계

답: s = 9.118

기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.

평균

x̄ = 195/7 = 27.86

편차의 제곱

Σ(x − x̄)² = (−2.857)² + (−11.86)² + (−3.857)² + (−8.857)² + 7.143² + 10.14² + 10.14² = 498.9

표준편차

s = √(498.9/6) = 9.118

답

s = 9.118

2.기술통계

답: z = 0.4

표준화하기

z = (540 − 500)/100 = 0.4

답

z = 0.4

3.확률

답: P = 0.4667

확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

첫 번째와 두 번째 꺼내기

P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0.4667

답

P = 0.4667

4.확률

답: P = 0.7748

고장 0개와 1개

P(X = 0) = 0.9⁹ = 0.3874

P(X = 1) = 9·0.1·0.9⁸ = 0.3874

더하기

P = 0.3874 + 0.3874 = 0.7748

답

P = 0.7748

5.정규분포

답: P = 0.8413

정규 변수의 합과 차: X와 Y가 독립이고 정규분포를 따르면 X + Y와 X − Y도 정규분포를 따릅니다. 평균은 더하거나 뺍니다: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. 분산은 차일 때도 항상 더합니다: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²이므로 σ = √(σ_X² + σ_Y²)입니다. 표준편차를 직접 더해서는 안 됩니다. 같은 분포를 따르는 독립인 n개 항목의 합은 평균 n·μ, 표준편차 σ·√n입니다. 그다음 평소처럼 표준화하여 z = (x − 평균)/σ를 구하고 Φ(z)를 읽습니다.

합의 분포

μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min

표준화하기

z = (29.5 − 32)/2.5 = −1

위쪽 꼬리

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

답

P = 0.8413

6.정규분포

답: P = 0.9207

차의 분포

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02121 mm

표준화하기

z = (0 − 0.03)/0.02121 = −1.41

확률

P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207

답

P = 0.9207

7.신뢰구간

답: E = 4.755

평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.

임계값

df = n − 1 = 24, t = 2.797

오차 한계

E = 2.797·8.5/√25 = 4.755

답

E = 4.755

8.신뢰구간

답: n = 4979

n에 대해 풀기

n = (1.96·36/1)² = 4979

올림하기

표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.

n = 4979

답

n = 4979

9.가설 검정과 신뢰구간

답: t = 2.1

평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.

표준오차

SE = 4/√16 = 4/4 = 1

검정통계량

t = (102.1 − 100)/1 = 2.1

답

t = 2.1

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.

10.가설 검정과 신뢰구간

답: 1 − β = 44.24 %

검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

임계 표본 평균

SE = 5/√100 = 0.5

x̄_c = 50 − 1.645·0.5 = 49.18

참 평균에서의 z

z = (49.18 − 49.25)/0.5 = −0.145

전력

검정력 = P(Z < −0.145) = 44.24%

1 − β = 44.24%

답

1 − β = 44.24%

11.선형 회귀와 상관

답: r = −0.9618

최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.

중심화한 합

S_xy = 285 − 15·104/5 = −27

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2242 − 104²/5 = 78.8

상관계수

r = −27/√(10·78.8) = −0.9618

답

r = −0.9618

12.선형 회귀와 상관

답: x = 1.394

평균

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 238/6 = 39.67

제곱합과 곱의 합

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 72

회귀직선

b = 72/17.5 = 4.114

a = 39.67 − 4.114·3.5 = 25.27

ŷ = 25.27 + 4.114·x

x 구하기

x = (31 − 25.27)/4.114 = 1.394

답

x = 1.394

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