기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 44, 59, 14, 60, 26.
n = 5
s =
2.기술통계어려움
어떤 양은 평균 70, 표준편차 8인 정규분포를 따릅니다. 86보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 70σ = 8x = 86
P =
3.확률보통
표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.25, 0.2, 0.35
Var(X) =
4.확률어려움
X의 분포가 표와 같고 Y = 2X + 1입니다. Y의 표준편차 σY을(를) 구하시오.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.1, 0.3, 0.35Y = 2X + 1
σY =
5.정규분포보통
IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 70에서 127.75 점 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
μ = 100σ = 15x1 = 70x2 = 127.75
P =
6.정규분포어려움
IQ 점수은(는) 평균 100 점, 표준편차 15 점인 정규분포를 따릅니다. 전체의 5%가 그 아래에 있는 값 x(5 백분위수)을(를) 구하세요.
μ = 100σ = 15P = 5%
x = 점
7.신뢰구간보통
항목 12개의 표본 평균은 15, 표준편차는 s = 16.5입니다. 모집단은 대략 정규분포를 따릅니다. 평균에 대한 95% 신뢰구간의 하한을 구하세요.
n = 12x̄ = 15s = 16.595%t(11) = 2.201
하한 =
8.신뢰구간어려움
모표준편차는 39입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?
σ = 39E = 290%
n =
9.가설 검정과 신뢰구간보통
모집단의 평균은 500이라고 주장되며, 모집단의 표준 편차는 20로 알려져 있다. 관측값 64개의 확률 표본의 평균은 505.4이다. H₀: μ = 500 대 H₁: μ > 500을(를) 검정하시오. p값 p을(를) 구하시오.
μ₀ = 500σ = 20n = 64x̄ = 505.4H₁: μ > μ₀
p =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
H₀: μ = 100 대 H₁: μ < 100의 단측 z 검정을 표본 크기 100, α = 0.05에서 실시한다. 표준 편차는 10로 알려져 있다. 실제 평균은 98.6이다. 검정력 1 − β을(를) 퍼센트로 구하시오.
μ₀ = 100μ = 98.6σ = 10n = 100α = 0.05
1 − β = %
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 5
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 기온(°C), y = 아이스크림 판매량의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 직선이 ŷ = 70을(를) 예측하는 값 x은(는) 얼마인가요?
n = 5ŷ = 70
x =
3용액
1.기술통계
답: s = 20.29
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 203/5 = 40.6
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 3.4² + 18.4² + (−26.6)² + 19.4² + (−14.6)² = 1647
표준편차
s = √(1647/4) = 20.29
답
s = 20.29
2.기술통계
답: P = 0.02275
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = 2
표준정규분포표
Φ(2) = 0.9772
P = 1 − 0.9772 = 0.02275
답
P = 0.02275
3.확률
답: Var(X) = 1.31
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
평균
μ = 1·0.2 + 2·0.25 + 3·0.2 + 4·0.35 = 2.7
제곱의 평균
E(X²) = 1·0.2 + 4·0.25 + 9·0.2 + 16·0.35 = 8.6
분산
Var(X) = 8.6 − 2.7² = 1.31
답
Var(X) = 1.31
4.확률
답: σY = 2.356
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
X의 퍼짐
μ = 2.75, Var(X) = 1.387, σX = 1.178
일차 변환
σY = |2|·1.178 = 2.356
답
σY = 2.356
평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 2·2.75 + 1 = 6.5.
5.정규분포
답: P = 0.9451
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
z점수
z₁ = (70 − 100)/15 = −2
z₂ = (127.75 − 100)/15 = 1.85
사이의 넓이
P = Φ(1.85) − Φ(−2) = 0.9678 − 0.02275 = 0.9451
답
P = 0.9451
6.정규분포
답: x = 75.33 점
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
백분위수에 해당하는 z
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
다시 x로
x = 100 + −1.645·15 = 75.33 점
답
x = 75.33 점
7.신뢰구간
답: 하한 = 4.516
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
임계값
df = n − 1 = 11, t = 2.201
오차 한계
E = 2.201·16.5/√12 = 10.48
구간
15 ± 10.48 → [4.516, 25.48]
답
하한 = 4.516
8.신뢰구간
답: n = 1029
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = (1.645·39/2)² = 1029
올림하기
표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.
n = 1029
답
n = 1029
9.가설 검정과 신뢰구간
답: p = 0.01539
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
검정통계량
SE = σ/√n = 20/√64 = 2.5
z = (505.4 − 500)/2.5 = 2.16
꼬리 면적
Φ(2.16) = 0.9846
1 − Φ(2.16) = 0.0154
p값
p = 0.01539
답
p = 0.01539
p ≤ 0.05이므로 5% 수준에서 H₀를 기각합니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: 1 − β = 40.32 %
검정력: 검정력 = 1 − β는 H₀가 거짓일 때 H₀를 기각할 확률입니다. μ₀와 z_α에서 기준값 x̄c를 구한 다음, 참 평균을 써서 x̄c 너머에 들어갈 확률을 계산합니다: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
임계 표본 평균
SE = 10/√100 = 1
x̄c = 100 − 1.645·1 = 98.36
참 평균에서의 z
z = (98.36 − 98.6)/1 = −0.245
전력
검정력 = P(Z < −0.245) = 40.32%
1 − β = 40.32%
답
1 − β = 40.32%
11.선형 회귀와 상관
답: r = −0.9848
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 103/5 = 20.6
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34
Syy = Σ(y − ȳ)² = 119.2
상관계수
r = −34/√(10·119.2) = −0.9848
답
r = −0.9848
12.선형 회귀와 상관
답: x = 22.5
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 385/5 = 77
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 420
회귀직선
b = 420/90 = 4.667
a = 77 − 4.667·24 = −35
ŷ = −35 + 4.667·x
x 구하기
x = (70 − (−35))/4.667 = 22.5
답
x = 22.5
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