기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 51, 43, 12, 15, 22, 21, 37.
n = 7
s =
2.기술통계어려움
시험 점수는 평균 70, 표준편차 10인 정규분포를 따릅니다. 82.5점의 z점수 z를 구하세요.
μ = 70σ = 10x = 82.5
z =
3.확률보통
표의 분포에 대해 X의 분산 Var(X)을(를) 구하시오.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.1, 0.35, 0.2, 0.05
Var(X) =
4.확률어려움
X의 분포가 표와 같고 Y = 0.5X + 10입니다. Y의 표준편차 σY을(를) 구하시오.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.1, 0.35, 0.35Y = 0.5X + 10
σY =
5.정규분포보통
표준 정규 곡선 아래에서 −z와 z 사이의 색칠한 넓이가 0.9281이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.
A = 0.9281
z =
6.정규분포어려움
배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 전체의 90%가 그 아래에 있는 값 x(90 백분위수)을(를) 구하세요.
μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
7.신뢰구간보통
관측값 50개와 알려진 σ에 근거한 평균의 99% 신뢰구간의 오차 한계는 9.2이다. 같은 연구에서 관측값을 200개로 하면 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?
99%n₁ = 50E₁ = 9.2n₂ = 200
E₂ =
8.신뢰구간어려움
기계 가공한 축 11개의 지름의 표본 표준 편차는 11.7 µm이다. 지름이 정규 분포를 따른다고 가정하고, 모집단 표준 편차에 대한 95% 신뢰구간의 하한 σ을(를) 구하시오. df = 10에서 χ² 분포의 2.5%는 3.247 아래에, 2.5%는 20.483 위에 있다.
n = 11s = 11.7 µmχ² = 3.247, 20.483
σ = µm
9.가설 검정과 신뢰구간보통
학생 100명 표본의 평균 점수는 503.4, 표본 표준편차는 20입니다. H₀: μ = 500에 대한 검정통계량 t를 구하세요.
μ₀ = 500x̄ = 503.4s = 20n = 100
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
평균에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 1 이하가 되려면 표본이 얼마나 커야 할까요? 표준편차는 10입니다. 최소 표본 크기 n를 구하세요.
σ = 10E = 199%
n =
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 6
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (4.5, 11)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.
n = 6(4.5, 11)
e =
3용액
1.기술통계
답: s = 14.95
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 201/7 = 28.71
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 22.29² + 14.29² + (−16.71)² + (−13.71)² + (−6.714)² + (−7.714)² + 8.286² = 1341
표준편차
s = √(1341/6) = 14.95
답
s = 14.95
2.기술통계
답: z = 1.25
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = (82.5 − 70)/10 = 1.25
답
z = 1.25
3.확률
답: Var(X) = 1.54
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
평균
μ = 1·0.3 + 2·0.1 + 3·0.35 + 4·0.2 + 5·0.05 = 2.6
제곱의 평균
E(X²) = 1·0.3 + 4·0.1 + 9·0.35 + 16·0.2 + 25·0.05 = 8.3
분산
Var(X) = 8.3 − 2.6² = 1.54
답
Var(X) = 1.54
4.확률
답: σY = 0.554
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
X의 퍼짐
μ = 2.85, Var(X) = 1.228, σX = 1.108
일차 변환
σY = |0.5|·1.108 = 0.554
답
σY = 0.554
평균은 실제로 이동합니다: E(Y) = 0.5·2.85 + 10 = 11.43.
5.정규분포
답: z = 1.8
넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.
z의 왼쪽 넓이
Φ(z) = (1 + 0.9281)/2 = 0.9641
z-표를 거꾸로 읽기
표 안에서 0.9641을 찾아 z를 읽으세요.
z = 1.80
답
z = 1.80
6.정규분포
답: x = 39.69 min
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
백분위수에 해당하는 z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
다시 x로
x = 32 + 1.282·6 = 39.69 min
답
x = 39.69 min
7.신뢰구간
답: E₂ = 4.6
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
오차 한계의 비
E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(50/200) = 0.5
새 오차 한계
E₂ = 9.2·0.5 = 4.6
답
E₂ = 4.6
8.신뢰구간
답: σ = 8.175 µm
분산의 구간: (n − 1)s²/σ²은 자유도 n − 1의 χ² 분포를 따릅니다. σ²의 95% 구간은 (n − 1)s²를 위쪽 χ² 값(그 위에 2.5%)으로 나눈 값에서 아래쪽 χ² 값(그 아래에 2.5%)으로 나눈 값까지이며, σ의 구간은 두 한계의 제곱근입니다. 이 구간은 s를 중심으로 대칭이 아닙니다.
제곱합
(n − 1)s² = 10·11.7² = 1369
σ²의 한계
1369/20.483 = 66.83
1369/3.247 = 421.6
σ의 한계
σ = √66.83 = 8.175 µm
답
σ = 8.175 µm
σ의 95% 구간: [8.175, 20.53] µm.
9.가설 검정과 신뢰구간
답: t = 1.7
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
표준오차
SE = 20/√100 = 20/10 = 2
검정통계량
t = (503.4 − 500)/2 = 1.7
답
t = 1.7
t0.025; df = 99 = 1.984
|t| < 1.984이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: n = 664
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
n에 대해 풀기
n = (2.576·10/1)² = 663.6
올림하기
n = 664
답
n = 664
11.선형 회귀와 상관
답: r = 0.9961
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 76/6 = 12.67
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130
Syy = Σ(y − ȳ)² = 243.3
상관계수
r = 130/√(70·243.3) = 0.9961
답
r = 0.9961
12.선형 회귀와 상관
답: e = −3.367
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 109/6 = 18.17
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −66.5
회귀직선
b = −66.5/17.5 = −3.8
a = 18.17 − (−3.8)·3.5 = 31.47
ŷ = 31.47 − 3.8·x
예측값
ŷ = 31.47 + (−3.8)·4.5 = 14.37
잔차
e = 11 − 14.37 = −3.367
답
e = −3.367
점이 직선 아래쪽에 있습니다.
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