기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 41, 43, 12, 28, 42, 19, 43.
n = 7
s =
2.기술통계어려움
어떤 양은 평균 100, 표준편차 5인 정규분포를 따릅니다. 90보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 100σ = 5x = 90
P =
3.확률보통
표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.15, 0.25, 0.3, 0.3
σ =
4.확률어려움
어떤 시험에 객관식 문제가 12개 있습니다. 찍어서 푸는 학생은 각 문제를 독립적으로 확률 0.5로 맞힙니다. 정확히 1개를 맞힐 확률 P는 얼마일까요?
n = 12p = 0.5k = 1
P =
5.정규분포보통
표준 정규 곡선 아래에서 z의 오른쪽 색칠한 넓이가 0.9875이 되도록 z를 끌어 놓으세요. z을 소수 둘째 자리까지 구하세요.
A = 0.9875
z =
6.정규분포어려움
시험 점수은(는) 평균 65 점, 표준편차 10 점인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 5%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.
μ = 65 점σ = 10 점5%
x = 점
7.신뢰구간보통
관측값 25개와 알려진 σ에 근거한 평균의 90% 신뢰구간의 오차 한계는 11.6이다. 관측값 50개에 근거한 99% 구간의 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?
90%n₁ = 25E₁ = 11.699%n₂ = 50
E₂ =
8.신뢰구간어려움
예비 연구에 따르면 제품의 약 0.3이(가) 불량이다. 비율에 대한 99% 신뢰구간의 오차 한계가 최대 0.05이(가) 되려면 제품을 몇 개 n 검사해야 하는가?
p ≈ 0.3E = 0.0599%
n =
9.가설 검정과 신뢰구간보통
모집단의 평균은 50이라고 주장되며, 모집단의 표준 편차는 32로 알려져 있다. 관측값 64개의 확률 표본의 평균은 46.56이다. H₀: μ = 50 대 H₁: μ < 50을(를) 검정하시오. p값 p을(를) 구하시오.
μ₀ = 50σ = 32n = 64x̄ = 46.56H₁: μ < μ₀
p =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
한 임상 시험에서 치료 A를 받은 환자 200명 중 30명, 치료 B를 받은 환자 120명 중 26명이 회복한다. 합동 비율을 써서 H₀: p₁ = p₂에 대한 검정 통계량 z을(를) 구하시오.
x₁ = 30n₁ = 200x₂ = 26n₂ = 120
z =
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 자동차 연식(년), y = 가격(k€)의 짝지은 관측값 5쌍이 있습니다. 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 5
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. 새 관측값 (11, 39)이(가) 얻어졌습니다. 잔차 e = y − ŷ를 구하세요.
n = 6(11, 39)
e =
3용액
1.기술통계
답: s = 12.95
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 228/7 = 32.57
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 8.429² + 10.43² + (−20.57)² + (−4.571)² + 9.429² + (−13.57)² + 10.43² = 1006
표준편차
s = √(1006/6) = 12.95
답
s = 12.95
2.기술통계
답: P = 0.9772
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = −2
표준정규분포표
Φ(−2) = 0.02275
P = 1 − 0.02275 = 0.9772
답
P = 0.9772
3.확률
답: σ = 2.086
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
평균
μ = 0·0.15 + 2·0.25 + 4·0.3 + 6·0.3 = 3.5
제곱의 평균
E(X²) = 0·0.15 + 4·0.25 + 16·0.3 + 36·0.3 = 16.6
분산
Var(X) = 16.6 − 3.5² = 4.35
σ = √4.35 = 2.086
답
σ = 2.086
4.확률
답: P = 0.00293
확률: 결과가 모두 같은 정도로 일어날 때 P(A) = 유리한 경우의 수/전체 경우의 수. 독립 사건은 곱합니다: P(A 그리고 B) = P(A)·P(B). 여사건이 자주 도움이 됩니다: P(적어도 하나) = 1 − P(하나도 없음). 이항분포: 성공 확률 p인 독립 시행 n번에서 P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
이항분포 공식
P(X = 1) = 12·0.51·0.511 = 12·0.5·0.0004883 = 0.00293
답
P = 0.00293
5.정규분포
답: z = −2.24
넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.
z의 왼쪽 넓이
Φ(z) = 1 − 0.9875 = 0.0125
z-표를 거꾸로 읽기
표 안에서 0.0125을 찾아 z를 읽으세요.
z = −2.24
답
z = −2.24
6.정규분포
답: x = 48.6 점
넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.
왼쪽 넓이
Φ(z) = 0.05
표에서 구한 z
z ≈ −1.64
원래 단위로 되돌리기
x = 65 − 1.64·10 = 48.6 점
답
x = 48.6 점
7.신뢰구간
답: E₂ = 12.84
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
오차 한계의 비
E₂/E₁ = (2.576/1.645)·√(25/50) = 1.107
새 오차 한계
E₂ = 11.6·1.107 = 12.84
답
E₂ = 12.84
8.신뢰구간
답: n = 558
비율의 신뢰구간: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), p̂ = x/n. 오차 한계 E에 도달하려면 n ≥ z²·p(1 − p)/E²이 필요하며 올림합니다. 사전 추정값이 없으면 n이 가장 커지는 p = 0.5를 씁니다.
n에 대해 풀기
n = 2.576²·0.3·0.7/0.05² = 557.4
올림하기
n = 558
답
n = 558
9.가설 검정과 신뢰구간
답: p = 0.1949
가설 검정: 검정 통계량 = (추정값 − H₀에서의 값)/(H₀에서의 표준 오차). p값은 H₀가 참이라고 가정할 때 관측된 것만큼 또는 그보다 극단적인 통계량이 나올 확률입니다. 단측 H₁이면 한쪽 꼬리의 면적, 양측 H₁이면 꼬리 면적의 두 배입니다. p ≤ α이면 H₀를 기각합니다.
검정통계량
SE = σ/√n = 32/√64 = 4
z = (46.56 − 50)/4 = −0.86
꼬리 면적
Φ(0.86) = 0.8051
1 − Φ(0.86) = 0.1949
p값
p = 0.1949
답
p = 0.1949
p > 0.05이므로 5% 수준에서 H₀를 기각하지 않습니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: z = −1.519
가설 검정: 검정 통계량 = (추정값 − H₀에서의 값)/(H₀에서의 표준 오차). p값은 H₀가 참이라고 가정할 때 관측된 것만큼 또는 그보다 극단적인 통계량이 나올 확률입니다. 단측 H₁이면 한쪽 꼬리의 면적, 양측 H₁이면 꼬리 면적의 두 배입니다. p ≤ α이면 H₀를 기각합니다.
표본 비율
p̂₁ = 30/200 = 0.15
p̂₂ = 26/120 = 0.2167
p̂ = 56/320 = 0.175
H₀에서의 표준 오차
SE = √(0.175·0.825·(1/200 + 1/120)) = 0.04387
검정통계량
z = (0.15 − 0.2167)/0.04387 = −1.519
답
z = −1.519
|z| < 1.96이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각하지 않습니다.
11.선형 회귀와 상관
답: r = −0.7071
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 107/5 = 21.4
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −6
Syy = Σ(y − ȳ)² = 7.2
상관계수
r = −6/√(10·7.2) = −0.7071
답
r = −0.7071
12.선형 회귀와 상관
답: e = 3.2
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 138/6 = 23
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 224
회귀직선
b = 224/70 = 3.2
a = 23 − 3.2·7 = 0.6
ŷ = 0.6 + 3.2·x
예측값
ŷ = 0.6 + 3.2·11 = 35.8
잔차
e = 39 − 35.8 = 3.2
답
e = 3.2
점이 직선 위쪽에 있습니다.
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