기술통계
- 평균
- x̄ = Σx/n
- 표본 표준편차
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 중앙값
- 정렬한 데이터의 가운데 값
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- 정규분포
- ±1σ 안에 68%, ±2σ 안에 95%
기초통계학: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
확률
- 여사건
- P(not A) = 1 − P(A)
- 덧셈 정리
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 독립 사건
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 조건부 확률
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 이항분포
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
정규분포
- z 점수
- z = (x − μ)/σ
- x 미만
- P(X < x) = Φ(z)
- x 초과
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 두 값 사이
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 백분위수
- x = μ + z·σ
방법
- 값을 z 점수로 바꾸세요: z = (x − μ)/σ.
- z 왼쪽의 넓이인 Φ(z)를 표에서 찾으세요.
- 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)를 쓰고, 구간은 두 왼쪽 넓이를 빼세요.
- 백분위수는 거꾸로 구하세요: 넓이에 해당하는 z를 찾은 다음 x = μ + z·σ.
신뢰구간
- σ를 알 때
- x̄ ± z·σ/√n
- σ를 모를 때
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 임계 z값
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 표본 크기
- n = (z·σ/E)², rounded up
방법
- z(모집단 σ를 앎)와 t(표본 s만 알고, 자유도 n − 1) 중에서 고르세요.
- 신뢰수준에 해당하는 임곗값을 찾으세요.
- 오차 한계: E = 임곗값 × 표준편차/√n.
- 구간: x̄ ± E.
가설 검정과 신뢰구간
- 평균에 대한 z 검정
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 평균에 대한 t 검정
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 유의수준 5% 양측 검정
- |z| > 1.96이면 H0 기각
- 신뢰구간
- x̄ ± z·σ/√n
방법
- H₀과 H₁을 세우고 단측 검정인지 양측 검정인지 정하세요.
- 검정 통계량을 계산하세요: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 또는 s와 t를 사용.
- 임곗값과 비교하거나 p값을 구하세요.
- 통계량이 임곗값을 넘으면(p가 α보다 작으면) H₀을 기각하고, 결론을 문장으로 쓰세요.
선형 회귀와 상관
- 제곱합
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- 기울기
- b = Sxy/Sxx
- 절편
- a = ȳ − b·x̄
- 상관계수
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- 잔차
- e = y − ŷ
2연습 문제
1.기술통계보통
자료의 표본 표준편차 s를 구하세요: 44, 25, 25, 20, 55, 34.
n = 6
s =
2.기술통계어려움
어떤 양은 평균 60, 표준편차 12인 정규분포를 따릅니다. 45.6보다 큰 값의 비율 P는 얼마일까요?
μ = 60σ = 12x = 45.6
P =
3.확률보통
표의 분포에 대해 X의 표준편차 σ을(를) 구하시오.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.25, 0.2, 0.35
σ =
4.확률어려움
게임 한 판을 하는 데 €5이 듭니다. 확률 0.3로 €10을, 확률 0.01로 €50을 따고, 그렇지 않으면 아무것도 따지 못합니다. 건 돈은 돌려받지 못합니다. 한 판당 기대 순이익 E(G)을(를) 구하시오.
건 돈 = €5€10: p = 0.3€50: p = 0.01
E(G) = €
5.정규분포보통
배송 시간은(는) 평균 32 min, 표준편차 6 min인 정규분포를 따릅니다. 25.1에서 42.8 min 사이에 있는 비율은 얼마일까요? P을(를) 소수로 답하세요.
μ = 32σ = 6x1 = 25.1x2 = 42.8
P =
6.정규분포어려움
성인 남성의 키은(는) 평균 178 cm, 표준편차 7 cm인 정규분포를 따릅니다. 색칠한 하위 75%가 왼쪽에 오도록 기준값을 끌어 놓으세요. 기준값 x을 구하세요.
μ = 178 cmσ = 7 cm75%
x = cm
7.신뢰구간보통
관측값 100개와 알려진 σ에 근거한 평균의 95% 신뢰구간의 오차 한계는 1.8이다. 같은 연구에서 관측값을 25개로 하면 오차 한계 E₂은(는) 얼마인가?
95%n₁ = 100E₁ = 1.8n₂ = 25
E₂ =
8.신뢰구간어려움
모표준편차는 36입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 오차 한계가 2.5 이하가 되려면 표본 크기 n이(가) 얼마나 커야 할까요?
σ = 36E = 2.590%
n =
9.가설 검정과 신뢰구간보통
학생 49명 표본의 평균 점수는 72.49, 표본 표준편차는 8입니다. H₀: μ = 75에 대한 검정통계량 t를 구하세요.
μ₀ = 75x̄ = 72.49s = 8n = 49
t =
10.가설 검정과 신뢰구간어려움
측정값 49개의 표본 평균은 51.4입니다. 모표준편차는 5입니다. 평균에 대한 90% 신뢰구간의 상한 U를 구하세요.
x̄ = 51.4σ = 5n = 4990%
U =
11.선형 회귀와 상관보통
표에는 x = 광고비(k€), y = 매출(k€)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 그 합들이 주어져 있습니다. 이 합들로 피어슨 상관계수 r을(를) 구하세요.
n = 6Σx = 48Σy = 380Σx² = 454Σy² = 25152Σxy = 3310
r =
12.선형 회귀와 상관어려움
표에는 x = 하중(kN), y = 늘음량(mm)의 짝지은 관측값 6쌍이 있습니다. 최소제곱 직선 ŷ = a + b·x를 쓰세요. x = 9일 때 ŷ을(를) 예측하세요.
n = 6x = 9
ŷ =
3용액
1.기술통계
답: s = 13.41
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
평균
x̄ = 203/6 = 33.83
편차의 제곱
Σ(x − x̄)² = 10.17² + (−8.833)² + (−8.833)² + (−13.83)² + 21.17² + 0.1667² = 898.8
표준편차
s = √(898.8/5) = 13.41
답
s = 13.41
2.기술통계
답: P = 0.8849
기술통계: 평균은 합을 n으로 나눈 값이고, 중앙값은 정렬된 자료의 가운데 값입니다(n이 짝수면 가운데 두 값의 평균). 표본 표준편차는 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z점수 z = (x − μ)/σ는 어떤 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다.
표준화하기
z = −1.2
표준정규분포표
Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849
답
P = 0.8849
3.확률
답: σ = 1.145
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
평균
μ = 1·0.2 + 2·0.25 + 3·0.2 + 4·0.35 = 2.7
제곱의 평균
E(X²) = 1·0.2 + 4·0.25 + 9·0.2 + 16·0.35 = 8.6
분산
Var(X) = 8.6 − 2.7² = 1.31
σ = √1.31 = 1.145
답
σ = 1.145
4.확률
답: E(G) = −1.5 €
이산 확률변수: 확률분포는 변수가 가질 수 있는 모든 값 x와 그 확률 p(x)를 나열합니다. 확률은 0과 1 사이이며 합이 1입니다. 기댓값(평균)은 E(X) = Σx·p(x)로, 장기적인 평균입니다. 분산은 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²이고, 표준편차는 σ = √Var(X)입니다. 일차 변환 Y = aX + b에서는 E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X), σY = |a|·σX입니다. 상수를 더해도 퍼짐은 변하지 않습니다.
순 결과
G: 5 (p = 0.3), 45 (p = 0.01), −5 (p = 0.69)
기댓값
E(G) = 5·0.3 + 45·0.01 − 5·0.69 = −1.5 €
답
E(G) = −1.5 €
음수는 평균적으로 돈을 잃는다는 뜻입니다.
5.정규분포
답: P = 0.839
정규분포: 값 x를 z점수 z = (x − μ)/σ로 바꾸면 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는지 알 수 있습니다. z표(또는 Φ(z))는 z 왼쪽의 넓이, 즉 P(X < x)를 줍니다. 오른쪽 넓이는 1 − Φ(z)이고, 두 값 사이의 넓이는 두 넓이의 차입니다.
z점수
z₁ = (25.1 − 32)/6 = −1.15
z₂ = (42.8 − 32)/6 = 1.8
사이의 넓이
P = Φ(1.8) − Φ(−1.15) = 0.9641 − 0.1251 = 0.839
답
P = 0.839
6.정규분포
답: x = 182.7 cm
넓이에서 z로 되돌아가기: Φ(z)는 z의 왼쪽 넓이입니다. 왼쪽 꼬리 넓이 A이면 표에서 Φ(z) = A인 z를 찾습니다. 오른쪽 꼬리 넓이 A이면 Φ(z) = 1 − A입니다. −z와 z 사이의 가운데 넓이 A이면 양쪽 꼬리에 (1 − A)/2씩 남으므로 Φ(z) = (1 + A)/2입니다. 값 x에는 x = μ + zσ를 쓰세요.
왼쪽 넓이
Φ(z) = 0.75
표에서 구한 z
z ≈ 0.67
원래 단위로 되돌리기
x = 178 + 0.67·7 = 182.7 cm
답
x = 182.7 cm
7.신뢰구간
답: E₂ = 3.6
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
오차 한계의 비
E₂/E₁ = (1.96/1.96)·√(100/25) = 2
새 오차 한계
E₂ = 1.8·2 = 3.6
답
E₂ = 3.6
8.신뢰구간
답: n = 562
평균에 대한 신뢰구간: x̄ ± 오차 한계. 모집단의 σ를 알면 오차 한계는 z·σ/√n이고, 표본 표준편차 s만 있으면 자유도 n − 1인 t를 써서 t·s/√n입니다. 임계값: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). 오차 한계를 E 이하로 하려면 n ≥ (z·σ/E)²이 필요하며, 올림합니다.
n에 대해 풀기
n = (1.645·36/2.5)² = 561.1
올림하기
표본 크기는 정수이고, 내림하면 오차 한계가 너무 커집니다.
n = 562
답
n = 562
9.가설 검정과 신뢰구간
답: t = −2.196
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
표준오차
SE = 8/√49 = 8/7 = 1.143
검정통계량
t = (72.49 − 75)/1.143 = −2.196
답
t = −2.196
t0.025; df = 48 = 2.011
|t| > 2.011이므로 5% 수준(양측)에서 H₀를 기각합니다.
10.가설 검정과 신뢰구간
답: U = 52.57
평균 검정: 검정통계량은 표본평균이 H₀에서 주장하는 값과 표준오차 몇 개만큼 떨어져 있는지를 나타냅니다: σ를 알면 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), 표본에서 추정하면 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). 신뢰구간은 x̄ ± (임계값)·(표준오차)입니다.
오차 한계
E = 1.645·5/√49 = 1.175
구간 끝값
U = 51.4 + 1.175 = 52.57
답
U = 52.57
11.선형 회귀와 상관
답: r = 0.9796
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
중심화한 합
Sxy = 3310 − 48·380/6 = 270
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 25152 − 380²/6 = 1085
상관계수
r = 270/√(70·1085) = 0.9796
답
r = 0.9796
12.선형 회귀와 상관
답: ŷ = 26.91
최소제곱 회귀: 평균을 x̄, ȳ라 하고 Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)라 하면, 직선 ŷ = a + b·x의 기울기는 b = Sxy/Sxx, 절편은 a = ȳ − b·x̄이므로 이 직선은 항상 (x̄, ȳ)를 지납니다. 피어슨 상관계수 r = Sxy/√(Sxx·Syy)는 −1과 1 사이에 있으며, r²은 y의 변동 중 직선으로 설명되는 비율입니다.
평균
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 127/6 = 21.17
제곱합과 곱의 합
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 201
회귀직선
b = 201/70 = 2.871
a = 21.17 − 2.871·7 = 1.067
ŷ = 1.067 + 2.871·x
예측
ŷ = 1.067 + 2.871·9 = 26.91
답
ŷ = 26.91
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